スレが落ちてくほしくないから書き込むわ。アタシ>>175の問題、完全に理解できてないのよね。
(1)はフェルマーの小定理 k^p ≡ k (mod p) の p=7 の場合で、ネットで簡単に証明が見つかるわ。
で(2)なんだけど、まず、g(n) = 3f(∑_{k=1}^7 k^n) で3倍してあるのは点数を18点にするためだから特に意味ないわ。
あと高校までは自然数って1以上よね？だから 7^n は7で割り切れるに決まってるから k=7 の分まで足してるのも意味ないわ。
だから簡単にして g(n) = f(∑_{k=1}^6 k^n) として考えるわね。
1≤ k ≤ 6 とするわ。(1)から k^7−k = k(k^6−1) が7で割り切れることが分かるけど
kは7で割れないから k^6−1 が7で割れなければいけなくなって、k^6 ≡ 1 (mod 7) が分かるわ。
このことから
g(6) ≡ ∑_{k=1}^6 k^6 ≡ ∑_{k=1}^6 1 ≡ 6 (mod 7)
が分かって、g(6) = 6 となるわ。
gの値域はfの値域に含まれていて、それは7で割った余りである0から6までの数で構成されているから、6がgの最大値であることが確定するわ。
実は、nを6で割った余りをrとすると、つまり n = 6q + r, 0 ≤ r < 6 とすると
k^n = k^{6q + r} = (k^6)^q × k^r ≡ 1^q × k^r ≡ k^r (mod 7)
だから、g(n) = g(r) となるわ。だからgに6の倍数を入れればいつでも6が出るの。
一応問題は解けたんだけど、アタシはなぜそれ以外の時にg(n) = 0となるのかが分からないの。

一般的に考えてみたいんだけど、aを正の整数として、aと互いに素でaより小さい正の整数の集合をZ_aとするわ。
Z_aの要素をそれぞれn乗したものをすべて足すと、aで割り切れるのはどういう時なの？
もちろんaが素数でn = a−1なら上の問題の場合になって、aで割った余りはa−1になるわ。
ちなみに、a ≥ 3 でnが奇数の場合は必ずaで割り切れるのは分かったの。
x ∈ Z_a とすると、a−x ∈ Z_a であることもすぐ分かるわ。
ここで、もし x = a−x なら、a = 2x となってa ≥ 3とxが互いに素であることに矛盾するから、x ≠ a−x ね。
このことから、Z_a の要素はすべてxとa−xのペアの形で見つかることが分かるわね。
x^n + (a−x)^n を展開するとnが奇数なので x^n の項が消えてaで割り切れるわ。
このことから、Z_aの要素をそれぞれn乗してすべて足すとaで割り切れることが分かるわ。