この書き込み全体に言えることなんだけれど、
どの程度の基礎知識を前提にした書き込みなのかよくわからないのよね。
うさぎへの課題とか書くなら、彼は基本数学科ではない前提なんだから、
基本的に初等整数論の範囲(mod n での計算までくらいかしら？)でなければならないと思うんだけど。
というかここは基本数学科ではない人前提の書き込みを心がけるべきだと思うんだけど。
まずp=7の場合も一般の素数の場合も、
1^k+2^k+…+(p-1)^k≡c^k(1^k+2^k+…+(p-1)^k)
から
1^k+2^k+…+(p-1)^k≡0
って、c^k−1が0でないことはわかっても、零因子でないことまで明らかでないと言えないわよ。
pが素数でない場合、0でなくても零因子である可能性はあるんだから、
あなたの書き込みは「pが素数ならZ/pZは整域」という性質を前提にしていることになるわ。
だけどこれって初等整数論の範囲だったかしら？
Z/nZの加法減方乗法は初等整数論の範囲だとしても、
Z/nZの乗法群としての性質や零因子の有無までは初等整数論の範囲ではないのではないかしら？
一般のpでc倍写像が全単射であることも当然のように使ってるけど、
これも初等整数論の範囲で明らかといえるかしら？
先の例と同じくらい疑問だわ。
それから★の事実って、初等整数論の範囲で「当たり前に思える」かしら？
初等整数論を越えて群とか環とかある程度やった人ですら当たり前には思えないのではないかしら？
それどころか「体の有限部分群は巡回群である」という定理を知ってる人でないと当たり前には思えないのではないかしら？
そして★の証明って一通り体論までやった人なら普通は上記の定理の証明をして、
そこから導かれるっていうやり方で、わりと容易に出来ると思うんだけど、
そういうやり方でない、初等整数論の範囲での証明って出来るのかしら？
出来るのならそのやり方を知りたいものだわ。