そういうわけでZ/pZは体なんだけど、これを体として扱うときには特にF_pなんて表したりするわ。
Fはもちろfieldの頭文字よ。
それであなたの疑問
なんでc^k≢1だからって
1^k+2^k+…+(p-1)^k≡c^k(1^k+2^k+…+(p-1)^k)
から
1^k+2^k+…+(p-1)^k≡0
が結論できるのか
についてははじめの式から
(c^k−1)(1^k+2^k+…+(p-1)^k)≡0
が出るでしょ。それで整域でc^k−1≢0だから、
1^k+2^k+…+(p-1)^k≡0
が結論できるのよ。
あなたのmod9のれば、では2^2−1=3が零因子だったから事情が違ったのね。
Z/pZの乗法群が巡回群であることは前にも書いた通り
「体の有限部分群は巡回群である」って定理から導かれるんだけど、
この定理も、あなたくらい群論の知識があればわかるのではないかしら。
体の有限部分群の位数をnとし、その元の最大位数をNとすると、
あなたご存知の通りNはnの約数で、つまりN≦n
一方でこの有限部分群の全ての元の位数はNの約数よね。
だからこの有限部分群の元は全て方程式x^N=1の解。
だけどN次方程式の解はN個以下。
(これは一般の体係数の方程式に対して成り立つわ。因数分解をかんがえればわかるわ)
つまりn≦N
N≦nかつn≦Nだからn=Nつまり巡回群ってこと。
Z/nZのnが合成数のときは、これの逆元をもつ元全体のなす群、
つまり既約剰余類群が巡回群とは限らないのはあなたがWikipediaで見た通りよ。
この場合の既約剰余類群の群構造については、ちょっとググるといろんな説明が出てくると思うわ。
あたしそこら辺詳しく覚えてないからちょっと自分で調べてみてね。
それであなたの疑問
この群の演算は掛け算なのに、全部足し算するとどうなるの？ていう問題なのが謎よね？？
ってのはそこから先の話になると、多分思うの。
とりあえず既約剰余類群が巡回群でない場合、各元の最大位数(またはその倍数)ベキを考えると
そのベキの総和は既約剰余類群の位数になることはわかるから、総和が0でない場合が複数あることはわかるわよね。
一方ベキが1とか、各元の最大位数−1とかの場合は、総和が0になることもわかるわ。
その他の場合、なんとなく0になることが多いような気はするわ。
でもそこから先、どんなときに0になってどんなときに0にならないかの完成な分類みたいのはあたしも今のところわからないわ。