>>287
ものすごく親切な説明、心から感謝するわ！
>一方でこの有限部分群の全ての元の位数はNの約数よね。
ここの部分がよくわからなかったけど、ググって一応自己解決したわ。これは可換群について言えることなのね？
> (これは一般の体係数の方程式に対して成り立つわ。因数分解をかんがえればわかるわ)
その体係数の一次式の積にまで因数分解できなかったらどうするのかよくわかんないけど、なんとなくイメージは伝わったわ。
ものぐささんは代数専門だったのかしら？本当に説明が上手ね！
アタシも代数ちゃんと勉強してみたくなったわ。
それにしても★の事実って、小学生でも意味は理解できることじゃない？
でも証明するには難しい代数の理論が必要なのかしらね？

とりあえず>>281の説明とものぐささんの説明から、素数pについては
1 ≤ k ≤ p−2 なら Z/pZ の要素をk乗して足すと0になることがわかったわ。
あと>>279に書いたけど、どのnに対しても Z/nZ の要素を奇数乗して足すと0になるわね。
で、アタシ実際 4 ≤ n ≤ 16で素数以外のものを調べてみたんだけど、
1≤ k < (元の位数の最大値)であるすべてのkに対して、k乗の総和が0になるのは n = 4, 6, 8, 10, 12, 14
1≤ k < (元の位数の最大値)で、k乗の総和が0にならないkが存在するのは n = 9 (k = 2, 4の時), 15 (k = 2の時), 16 (k = 2の時)
てなったわ。
このうち n = 8, 12, 15, 16 の時以外は、Z/nZは巡回群よ。