とりあえずこのスレでは今のところ群も環も体も可換なものという前提でしか話してないわ。
体係数のN次方程式については、その方程式が一次式の積に完全に分解できれぱ解の個数は重複を込めてN個、
完全に分解出来なければ解の個数はN個未満になるわよね。
だからどちらにしても解の個数nはN以下になるから
n≦Nが言えるわ。
このことは「体上の一変数多項式環が一意分解整域である」という性質から保証されるんだけど、
この性質の証明はユークリッドの互除法やら面倒なので省略させてね。
ちなみに一意分解整域ってのは、いわゆる整数が素因数分解の一意性が成り立つ、みたいなことよ。
因数分解が何通りものやり方でできたりはしない、ってこと。
一意分解でない環も珍しくないのよ。
たとえば整数a,bでa＋b√(−5)と表せる数全体からなる環において6を素因数分解しようとしたら、
6=2*3とも素因数分解できるし、
6=(1＋√(−5))(1−√(−5))とも因数分解できるわ。
★の事実の意味を小学生でも理解できるかどうかは、
modの考え方を小学生でもすんなり使えるかどうかじゃないかしら。
証明はあたしの知ってる限り群論の知識やら体上の多項式についての知識が必要だから小学生では難しいのではないかしら。
あたしは代数専門かって？まあ、そんなようなものかしら。
本当のバリバリ専門家から見たら怒られちゃいそうだけど。
後半にあなたが書いてるZ/nZって、Z/nZの既約剰余類群のことではないかしら？
Z/nZって書くと｛0, 1, …, n−1｝のことを表すわよ。
これは群として見るなら位数nの加法群で巡回群という見方になるわ。
というかむしろ位数nの巡回群のことをZ/nZで表すことが多いわ。
このうちnと互いに素なものだけを集めた乗法群、既約剰余類群のことを表す場合、
普通は(Z/nZ)^×のように、要は右上に×をつけて表すことが多いと思うわ。
だから例えば★の事実は記号で書けば
(Z/pZ)^×とZ/(p−1)Zが同型
ってことになるわ。(同型を表す記号があたしのスマホの記号リストになかったわ、残念！)
あなた、群論はどの程度やったのかしら？
剰余類群(商群)とか準同型定理とかくらいまでやったのかしら？
あたしは初めて準同型定理を理解したときは感動したものだわ。
代数のどういう分野に興味があるとしても、群論は準同型定理周辺の知識までははベースになるから、
まだやってなくて、今後代数を今以上に勉強したいならそこら辺はやるといいと思うわ。
ところであなたいろいろ具体例を実験して調べてるようだけど、
数学でそういう作業ものすご〜く大事！
あたしはものぐさだから最近もうめったにやらなくなっちゃったけど、
そういう作業することによって、机上の空論みたいに思えるような理論が、
具体的に実感としてリアルに理解できるようになったりするし、
実験を繰り返してるうちに、ふと何らかの法則性に気がついて
そこから新しい理論を見つけたりすることもあり得るからね。
てゆーかあたしものぐさだから数学がそこまでできないのよね、きっと。
もっと細かい具体例をいろいろいじってみるだけの根気があればもう少し数学できるようになってたかも知れないわ。
もう一度言うわ。ものすご〜く大事！