>>291
ごめんなさい、おっしゃる通り、アタシ(Z/nZ)^×のつもりでZ/nZて書いてたわ。最初にアタシがZ_nって表記してたやつの話してたの。

そして補足説明ありがとう。持ってる本に「体K上の整式f(x)は一意的に素元分解される」ていう定理がのってて、ユークリッドの互除法を使った説明があったわ。
そして勘違いしてたのに気づいたわ。
例えば (Z/7Z)^× = {1, 2, 3, 4, 5, 6} は、体 F_7 = Z/7Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} の有限部分群てことよね。
そして(Z/7Z)^× の要素が全てF_7上の方程式 x^6−1= 0 の解となるのよね。
でも x^6−1 = (x+1)(x−1)(x^4+x^2+1) 以上に分解できないじゃない！って思っちゃったんだけど、
体が F_7 だから (x^4+x^2+1) = (x−2)(x−3)(x−4)(x−5) になるのね。
ふつうに展開すると
(x−2)(x−3)(x−4)(x−5) = x^4 − 14x^3 + 71x^2 − 154x + 120
だけど、mod 7 だから 14≡0, 71≡1, 154≡0, 120≡1 なのね。
そして x+1 = x−6 だから、ちゃんと
x^6−1 = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)
となるのね。面白いわ！

小学生にはmodとか言わなくて単に「7で割ると1余らない」とか言えば★の内容は伝わると思うのよね。

商群とか準同型定理は知ってるわ。アタシも初めて知った時は感動や興奮した記憶があるわ。
最近はババァになったからか、ちょっとしたことでは感動や興奮しなくなってさみしいわw
でも準同型写像の核である正規部分群が、抽象的でイメージしにくくて困ってるの。
可換群の場合は、部分群はすべて正規だからわかりやすくていいんだけど。

おっしゃる通り、群論てとても抽象的でアタシには具体例を見ないと理解するのなかなか難しいのよね。
具体例でも対称群とかは要素ひとつひとつが複雑でわかりにくいし、やっぱりイメージしにくいわ。
でも(Z/nZ)^×を調べるのは、小学生レベルの計算で簡単だったしわかりやすかったの。
表にしていくと、不思議なパターンみたいなのが見えるし、最後には1が並んで、魔法を見てるみたいで面白いの。

ちなみにだけど、この問題って、足し算が絡んでるから、群の構造だけでは分からないことなのね。
だって (Z/9Z)^× ≅ (Z/14Z)^× なんだもの。
あたしパソコンだから ≅ 余裕よ！ていうかスマホで打てるのすごいわ。
書くのものすごく時間かかってるでしょ。どうもありがとう。