>>297
位数n（つまり元の数がn個）の群Gが巡回群であるというのは、ある g ∈ G があって G = {g, g^2, … g^n} と表せるという意味よ。
ここで g^n = e（単位元）、そして i ≠ j なら g^i ≠ g^j 、とくに 1 ≤ k < n なら g^k ≠ e よ。
だから、もし (Z/pZ)^× = {1, 2, …, p−1} が巡回群なら、この群の位数が p−1 で単位元が1だから、ある c ∈ (Z/pZ)^× があって、1 ≤ k < p−1 であるすべてのkに対して c^k ≠ 1 となることになるけど、これは c^k ≢ 1 (mod p) ということね。つまり★が成立するの。

ここで、gを位数nの群Gの元として一般論を述べるわ。鳩の巣原理を考えるとGの元は全部でn個なんだから、
g^1, g^2, … g^n, g^{n+1}
の中のどれかふたつは必ず一致して、g^s = g^t（s < t）となるわ。
両辺にg^{−s}をかければ、g^{t−s} = eとなるわね。
このことから、1 ≤ r ≤ n で g^r = e となる r が存在することが分かるの。
そういうrで最小の数をgの位数というの。定義から、1≤ k < r ならg^k ≠ e ね。
そして、1≤ i < j ≤ r なら g^i ≠ g^j ね。なぜなら、もし g^i = g^j なら、g^{j−i} = e となってrの最小性に反するから。

本題に戻って、★が成立する、つまり1 ≤ k < p−1 であるすべてのkに対して c^k ≠ 1 となる c ∈ (Z/pZ)^× があるとするわ。
c^r = 1となるr ≤ p−1があるはずだけど、この場合 r = p−1 となるしかなくて、これがcの位数であることがわかるの。
これは(Z/pZ)^× が巡回群であるということに他ならないわ。

つまり★は「pが素数なら (Z/pZ)^× は巡回群である」と同値なの。
だから>>281でアタシに出された課題って、これを証明しろってことだったのよ。
上にも書いた通り、アタシは★が成り立つことを知ってはいたけど、群論の入門書で証明が与えられないレベルの話だから、自分ではとても解決できないと思ったわ。
けれど、あなたがそういうことを知った上でわざといぢわるな課題を出してきているのか、それとも純粋に、★は正しそうだけど自分では証明できないからアタシに頑張って、と言っているのか、どっちなのか分からなかったわ。
でも>>281は「★の事実」って書いているから、いかにも証明を知っているように見えたから、ものぐささんは前者だと思ったんでしょうね。