かなり行き違いがあって申し訳ないから
もう一度最初から書くわ

mod 7で
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3≡0
であることを証明したい。
ここで、なんとなく感覚的に、
1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,6^3の全てが1に合同であるということが起きる可能性は低いだろう
という気がする。実際、
6^3≡(-1)^3=-1≡6
である。また、集合として
{1,2,3,4,5,6}≡{6*1,6*2,6*3,6*4,6*5,6*6}
であるから、
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3≡6^3 (1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3)
∴ 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3≡0

次に、mod 7で
1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4≡0
であることも証明したい。
ここで、なんとなく感覚的に、
1^4,2^4,3^4,4^4,5^4,6^4の全てが1に合同であるということが起きる可能性は低いだろう
という気がする。実際、
2^4≡16≡2
である。また、集合として
{1,2,3,4,5,6}≡{2*1,2*2,2*3,2*4,2*5,2*6}
であるから、
1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4≡2^4 (1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4)
∴ 1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4≡0

ここで注意しておくべきは、
3乗のときは6を選び、
4乗のときは2を選んだ
ように、べきによって選ぶ値が異なってもよい、ということ。
つまり、わざわざ巡回群の生成元を選ばなくても、命題の証明が可能である、ということ。

そこでやはり問題となるのが、
「1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,6^3の全てが1に合同であるということが起きる可能性は低いだろうという気がする。実際、6^3≡(-1)^3=-1≡6である。」
「1^4,2^4,3^4,4^4,5^4,6^4の全てが1に合同であるということが起きる可能性は低いだろうという気がする。実際、2^4≡16≡2である。」
この感覚。
これをもう少し一般的に、しかし、高校生レベルくらいで証明できたらいいんだけどね…というのがアタシの質問。


1≦k≦p-2(の各々)に対して、あるc[k](2≦c[k]≦p-1)が存在して、c[k]^kが1に合同でない ★

という命題において、上の例だと
p=7で、
c[3]=6
c[4]=2
というものが選べるということです。