ええ、アタシは出題者=24=27よ
元の問題の想定解が1,2,3でも使えるか27で確かめたわ

先に>10がなぜ暗算で解けるか解説するわ

1回の試行で確率1/2で起こるような事象 (例えばコインを投げて表が出るとか、1,2,3,4から無作為に選んで2または3が出るといったこと) は、n回試行を繰り返したときにその事象が 偶数 回起きる確率は1/2となる、ということに気付く必要がある。
つまり、1,2,3,4の4個の数字から無作為に1個を選び記録するという操作をn回行うとき、2または3が偶数回出る確率は1/2となる。
(念のため注意しておくと2または3が出るというのは、例えば無作為に7回選んで
1243342
と出た場合、2または3は4回出ている。
1114443
と出た場合、2または3は1回出ている。)
暗算で解きたいのだから、これ証明をするのに二項係数の和など用いてはならない。漸化式で考える。
1,2,3,4の4個の数字から無作為に1個を選び記録するという操作をn回行うとき、2または3が偶数回出る確率をp[n]とする。p[n]はコインをn回投げて表が偶数回出る確率と思ってもいい。
p[n+1]=p[n]*1/2+(1-p[n])*1/2
=1/2
となり、したがってp[n]は常に1/2である。

さて次に、1,2,3,4の積がどういう時に平方数になるか考察する。1と4はどのように出ても積は平方数となるので、2と3の出方だけが問題。
そもそも2または3が奇数回出ると平方数にはなりようがない。2または3が奇数回出るということは2が偶数回で3が奇数回、または、2が奇数回で3が偶然回出るということだから、素因数分解の2の指数と3の指数どちらかは必ず奇数であり平方数にはならない。
したがって少なくとも2または3が偶数回出る必要がある。上のp[n]が使えそうである。
しかし、2または3が偶数回出たとしても2も3も奇数回だと平方数にはならないから、2が偶数回出る必要がある(このとき必然的に3も偶数回で積が平方数となるための必要十分条件となる)。
2または3が偶数回出たうえで2が偶数回出るということは、また上のp[n]が使えそうである。表に2、裏に3が書いてあるコインを偶数回(2k回)投げて表の2が偶数回出る確率はp[2k]=1/2である。
ただし気をつけなければならないのは、全ての回で1または4が出る場合(=確率1/2^nで、この場合も積は平方数)である。この場合を除いて、2または3が偶数回出たうえで2が偶数回出ると考えなければならない。
以上より、求める確率は
(1/2-1/2^n)*1/2+1/2^n
=1/4+1/2^(n+1)
で、>16と同じになる。


長くなったけど、要約すれば

1,2,3,4の積が平方数になる確率
=(2または3が偶数回出る確率-全て1または4が出る確率)*(2が偶数回出る確率)+(全て1または4が出る確率)
=(1/2-1/2^n)*1/2+1/2^n
=1/4+1/2^(n+1)

つまり、暗算で求められるというわけ。