まずあなたがやってることを一般のpで書き直してみるわね。
mod pで
1^k+2^k+・・・+(p−1)^k≡0
であることを証明したい。
ここで、なんとなく感覚的に、
1^k,2^k,・・・,(p−1)^3の全てが1に合同であるということが起きる可能性は低いだろう
という気がする。
ここでc^kが1と合同でないようなcを選ぶ。
また、集合として
{1,2,・・・,p−1｝≡｛c*1,c*2,・・・,c*(p−1)｝
であるから、
1^k+2^k+・・・+(p−1)^k≡c^k(1^k+2^k+・・・+(p−1)^k)
∴ 1^k+2^k+・・・+(p−1)^k≡0
ってことよね。
ここでこの論法にいくつか疑問があるの。
まず１つ目
c^kが1と合同でないようなcを選んだからといって、
なぜ｛1,2,・・・,p−1｝≡｛c*1,c*2,・・・,c*(p−1)｝が言えるのかしら？
具体的にp=7でk=3,4の場合で計算してみたのかしら？
だとしたら一般化はできないわよね。
勿論一般に有限整域だからc倍写像は全単射ってのは成り立つわよ。
でもそれはあなたが前提としている高校生レベルの範囲外になるのではないかしら。
長くなるから一旦切るわね。