あなたすごいわ。天才的な解き方ね。
アタシ、あなたの解法の最初の式がなんですぐ分かるのか分からなかったんだけど
内心から三角形の頂点に引いた線は、角を二等分するから、合同の三角形ができて a−r = R = b−r が分かるのね。
内心の性質、完全に忘れてたわ！
コーシー・シュワルツの不等式って書いているけど、相加相乗平均の不等式の間違いかしら？
a^2 + b^2 ≧ 2ab
だから、両辺に a^2 + b^2 を加えると
2(a^2 + b^2) ≧ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2
となるってことね？よく思いついたわね。
この問題、いろいろな解き方がありそうだから、どんなふうに解いてもらえるかしらって思ってたんだけど、書き込んだ甲斐があったわ。
内心の性質の復習にもなったしw
相加相乗平均の不等式って中学で習った気がするけど、 だとしたらこの問題、中学レベルねw
アタシがとりあえず考えてたのは、三角形の面積が ab/2 とも (a+b+2R)r/2 とも表せることから
ab = (a+b+2R)r
がわかって、ここに a+b = 2(R+r)（アタシは上の式の両辺に (a+b−2R) を掛けてから a^2+b^2 = (2R)^2 を使うことで出してたわw）を代入して
ab = 4Rr+2r^2
が分かるから、a, b が
x^2 − 2(R+r)x + (4Rr+2r^2) = 0
の解だと分かって、判別式/4 = (R+r)^2 − (4Rr+2r^2) ≧ 0、つまりR^2 − 2Rr − r^2 ≧ 0が分かるの。
(R/r)^2 − 2(R/r) − 1 ≧ 0
と書き換えれば、これから R/r ≧ 1+√2 が分かるわ。ダサい解き方よねw
他にもいろいろ解き方ありそうよね。
>>334さんが言うように、図形的に考えればR/rが最小になるのは直角二等辺三角形の時なのは明らかっぽいから、その場合を直接計算すれば十分かしら。
Wikipediaを見たら、三角形の３つの角をA, B, Cとすると
R = r/(cos A + cos B + cos C − 1)
なんていう謎公式もあったわ。これを使っていいなら、直角じゃない１つの角をθとすれば、
R = r/(cos π/2 + cos θ + cos (π/2 −θ) − 1) = r/(cos θ + sin θ − 1) = r/(√2 sin (θ+π/4) − 1)
てなるから、0 < θ < π/2 を考えると R/r ≧ 1/(√2−1) = 1+√2 が分かるわね。