とりあえずどれか一つ、例えばαをなにか分かりやすい値、例えばπ/6とかπ/4とかπ/3とかに固定すると、
与式は一変数関数になるから増減表で最大最小の様子が多分見えるじゃない？
あとはαを変えたらどうなるか、とかαとβとγは対称なんだから、とか考えたら、
何か見えてくるのではないかしら？

対称性を考えたら、多分α=β=γ=π/3で最小になるんでしょうけど、
いろいろいじってみたら、その根拠もみえてくるのではないかしら？