あらお上手ね
その方法もいいわね

1/sinα+1/cosα-1/(sinαcosα)
=1/sinα+1/cosα-(sin^2α+cos^2α)/(sinαcosα)
=(1-cosα)/sinα+(1-sinα)/cosα
x=(1-sinα)/cosαとおくとxcosα+1*sinα=1なので
xはx^2+y^2=1上の点(cosα,sinα)における接線上の点のy座標が1のときのx座標
同様にy=(1-cosα)/sinαとおくとyはx^2+y^2=1上の点(cosα,sinα)における接線上の点のx座標が1のときのy座標となる
(1,0),(1,(1-cosα)/sinα),((1-sinα)/cosα,1),(0,1)を結ぶ線分の長さの和が2×(1/sinα+1/cosα-1/(sinαcosα))で
これは明らかにπ/2より長い
というのが私の考えていたことよ
こうすればπの近似値はいらないはず