そういえば、例の円周率を近似する問題だけど、正10角形で計算するのが良いっていう情報を見たのでやってみたの。
∠O = 36°、∠A = ∠B = 72° で OA = OB = 1 の二等辺三角形△OABを考えるわ。AB = x として、5x ≥ 3.05 を示せば良いの。
辺OB上に AC = AB = x となるよう点Cをとると、△OABと△ABCは相似になるわ。
∠CAO = ∠BAO − ∠BAC = 72° − 36° = 36° = ∠COA だから△CAOは二等辺三角形になって CO = CA = x、したがって CB = OB − CO = 1−x ね。
△OABと△ABCが相似だから、OA : AB = AB : BC、つまり 1 : x = x : 1−x、となって x^2 + x −1 = 0
x > 0 だから x = (√5−1)/2 ね。（要するに x = 2 sin 18＝ なんだけど。）すると
5x ≥ 3.05 ⟺ x ≥ 0.61 ⟺ (√5−1)/2 ≥ 0.61 ⟺ √5−1 ≥ 1.22 ⟺ √5 ≥ 2.22 ⟺ 5 ≥ 2.22^2 = 4.9284
となって超簡単な計算で済むわ！

あと思ったんだけど、円に内接する多角形の周長が円周より短いっていうのは>>188さんのおっしゃるように
「2点間の最短距離は直線である」
ってことから言えるんだろうけど、これ当たり前っぽいけど証明しろって言われたらできるか分からないわ。