「無理数の無理数乗が有理数になることがある」なら、排中律を使う証明と構成的証明を知ってるけど、この問題は初めてみたわ。
アタシは２つ方法を考えたわ。
(1) まず√2と√3が無理数なのはいいわね？そしてlog_2 3も無理数ね。なぜなら、もしこれが有理数でa/bという分数で表せるとすると、2^{a/b} = 3、つまり 2^a = 3^b となって矛盾しちゃうわ。そして√2 の (log_2 3) 乗を計算すると
√2^{log_2 3} = {2^{1/2}}^{log_2 3} = 2^{(1/2) log_2 3} = 2^{log_2 3^(1/2)} = 3^(1/2) = √3
となってめでたく無理数になったわ。
(2) Xを全ての無理数の集合とするわ。そして無理数なんでも良いんだけど、そうね、例えばπを使って Y = { x^π | x ∈ X } とおくわ。
Yの要素に有理数しかないと仮定して矛盾を導けばいいの。そう仮定すると、有理数の集合は可算集合だからYの濃度を|Y|で表すと、
|Y| ≤ ℵ_0（可算集合の濃度以下）となるわね。一方Xは無理数の集合だから、|X| = 2^{ℵ_0}（連続体の濃度）ね。
ところが、XとYの要素の間には一対一の対応関係があるから |X| = |Y| となって 2^{ℵ_0} ≤ ℵ_0 が得られるわ。
けれど実際は ℵ_0 < 2^{ℵ_0} なのでこれは矛盾よ。
これで正解かしら？ 他にどんな方法があるのかしら？