あなた、すごいわねえ。
よく頑張ったわねえ。
多分もうそんじょそこらの数学科の人より深く群論理解したのではないかしら？
ちなみにあたしが教わったときは、剰余類作るときに使う元はgではなくaを使っていたから、
剰余類はaHとかHaとかって書いていたわ。
あたしの感覚ではaHが左剰余類だけど、
どっちが右でどっちが左かなんて、統一されてさえいれぱどっちでもいいのよね。
D_4の真部分群のうち位数4のものが正規なのは、
というかどんな群でも位数が偶数の群で、
その部分群で位数がちょうど半分のものがあるとすれば、
それは必ず正規に決まってるわよね。
だって剰余類に分解したら、右剰余類でも左剰余類でも
その部分群とそれ以外全ての二つにしか分解されないんだから
左右の剰余類分解が一致するもの。
A_4の部分群についてはあまりよく知らなかったけど、
ちょっと考えてみたら長さ3の巡回置換からなる部分群たちはなんとなく共役っぽいから、
それらは正規ではなさそうよね。
そうすると正規なのはうさぎさんが挙げたのだけになりそうね。
そこまで群論がわかっているなら、そしてゆくゆくはガロア理論を理解したいなら、
そろそろ環論や体論に入ってもいいかもね。
ガロア理論が目的ならば環論は軽く可換なものを流すだけで大丈夫だろうから、
体論の方を少し真面目にやってみるといいと思うわ。
もちろん今は群論が面白いと思っていて、もう少し群論深くやりたいなら、
シローの定理あたりまでやってみても面白いかもしれないわ。