2つもの方法を考えたなんて、あなた素晴らしいわね。
(1)の方法は、無理数乗の定義がキチンと出来ていないとしても、
そういう概念がもしあるとしたらという程度の前提で
高校の範囲内で出来るのが特に素晴らしいわ。
(2)の方法は、加算無限＜連続無限とか、濃度という言葉使い、アレフゼロなんて記号、
完全に大学の範囲、しかも多分数学科でしかやらないのではないのかしら？
一対一というのは単射のことだけど、
全射であることはYの定義から明らかだから、
ご本人はたぶん全単射のつもりで使っているのね。
ただこの方法、ちょっと疑問があるわ。
X→Yが単射(一対一)というのは明らかかしら？
一般論でいうと、rを定数としたとき、
写像x→x^rは単射とは限らないわ。
例えばrを2としたとき、1^2＝(−1)^2よね。
rを無理数とするとx→x^rが単射になるかどうか、自明ではないのではないかしら？
もし事実だとしてもなぜそれが言えるのか説明が必要ではないかしら？
少なくともあたしはこれが単射と言い切れるかどうかわからないわ。