大学入試の数学の問題を解くゲイ2022
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
最近は2週間書き込みなくても落ちない
正確にはBB2Cが死んで以降 >>445
正解よ！ 37/1785 ≈ 2 % だからほぼ起きないってことね
もう誰も見てないのかしらって思ってたから、書き込みうれしいわ (1)ができたら、もう少し考えたら(2)もできたわ。
まず(1)の答えをxと置くわね。
AさんとBさんが縦か横かで隣になる確率は
6×5×2/36C2 = 2/15 これをyと置くわね。
これはCさんも含めた三人が縦か横かで隣になる場合も含むから、
Cさんは隣ではなくAさんとBさんだけが隣になる確率は
y−x になるんだけど、同様にして
AさんとCさんだけが隣になる確率も
BさんとCさんだけが隣になる確率も
いずれも y−x になるわ。
だから、だれか二人だけが隣になる確率は
3(y−x) になるんだけれど、
(2)では少なくとも2人が、ってあるから、
3人が隣でもいいからさらに x を足せばいいのよ。
よって 3(y−x)＋x = 3y−2x
これを計算したら 128/357 になったわ。
どこかで計算ミスさえしていなければ、
考え方は間違ってないと思うんだけど、どう？ やだわ、思いっきり計算ミスしていたわ。
yは2/15ではなくて2/21よね。
それで計算し直してみたら、436/1785 になったわ。
今度こそ、どう？ >>449
あなたの答え、正しそうなんだけど、あたしが用意していた答えとなぜか違うのよ
あたしはあなたみたいなエレガントな解答を用意していなくて(1)と同じで単純に数えてたのw
２人が隣同士になって、もう１人が離れる配置の数を数えたら、1744になったの
３人がみんな隣になる配置は(1)から148だから、合計で1892よね
だから 1892/36C3 = 473/1785 になったの
でもあなたの解答読んでどこがおかしいのか分からなくて、昨日から悩んでるのw
あたしの答えの方がおかしいのかしら？ もうちょっと具体的に書いておくわ。
まずゲイ２人が横に並んで、もう1人が離れた席の場合を考えるわ。
・ゲイ２人が一番前や一番後で横に並ぶ場合
- この２人が左端か右端の場合、残りの1人の席で選べるのは31席
- それ以外場合、残りの1人の席で選べるのは30席
これらを合計すると、31×2 + 30×3 = 152 の配置があるわ
・ゲイ２人が一番前や一番後以外で横に並ぶ場合
- この２人が左端か右端の場合、残りの1人の席で選べるのは29席
- それ以外場合、残りの1人の席で選べるのは28席
これらを合計すると、29×2 + 28×3 = 142 の配置があるわ
全部合わせると、152×2 + 142×4 = 872 になるわ。
ゲイ２人が縦に並ぶ場合も同じだから、872×2 = 1744 となったの。
あたし間違っているかしら？ >>うさぎ
とりあえず今酔っ払ってる状態でざっと見ただけなんだけど、
AさんBさんCさんの区別はどうなっているのかしら？
それから細かく見ると、31に掛けるべき数は、
右上左上右下左下で4を掛けるべきではなくて？
AさんBさんCさんの区別を考えると、分子も分母ももっと大きくなるのではないかしら？
AさんBさんCさんの区別を考えると、
分母は組合せではなくて順列を考えなければならないのではないかしら？
とりあえず酔っ払った頭で思ったのはそんなところ。
またシラフになって考えたら、
考える時間的気分的余裕があったら考えてみるわ〜 >>452
わかりにくくてごめんなさい。上の計算では、横一列ごとに合計を出したの。
最前列と最後列で152ずつ、それ以外の４列で142ずつだから152×2 + 142×4を計算したの。
だからこの中に31×4が入っているわ。
AさんBさんCさんを区別しても、結局分子と分母の両方に 3! が掛かるだけだから同じになると思うわ。
ノンケも区別することにすると、さらに 33! を分子と分母に掛けることになるけど、これも結局同じよね。 アタシはうさ子と同じになったわ
https://www.wolframalpha.com/input?i=%2860×34-148%29%2FBinomial%5B36%2C+3%5D&lang=ja >>454
まあ、あなた賢いわね！
あたしが面倒くさく計算してることって、確かに 60×34 − 148 で一発ねw >>448のどこがおかしいのか分かったわ。
AさんとBさんが縦か横かで隣になる確率が y = 60/36C2 = 2/21 なのは正しいわ。けれど
「これはCさんも含めた三人が縦か横かで隣になる場合も含むから、AさんとBさんだけが隣になる確率はy－x になる」
が間違っているの。
例えば、３人が一直線に横に並ぶ場合を考えてみると
ABC
BAC
CAB
CBA
ACB
BCA
と６通りの並び方があるわね。
このうち最初の４つでは、AとBが隣同士だけど、最後の２つではAとBが隣同士でないわ。
つまり、３人連結するときの真ん中の子がCの場合、AとBが隣にならないのよ。
x = 37/1785 はこの６つ全てを合わせた確率だから
「３人が連結して、かつAとBが隣になる確率」は 4/6 x = 2/3 x となるのよ。
したがって正しい計算は、3(y － 2/3x) ＋ x = 3y － x = 473/1785 となるわ。 あたしも今日間違いに気付いたので、今夜にでも整理して投稿しようと思っていたところよ。
内容はまるっきり>>456 とおんなじ。
>>453 は理解したけど、
> 60×34 − 148
の式の意味がよくわからないわ。
説明してちょうだい！お願い！ >>457
まずゲイ２人の連結ブロックの配置の仕方が60通りあるわよね。
残り１人の席だけど、２人と連結するかしないかを考慮しなければ、残りの34席から自由に選べるわ。
だから、少なくとも２人が連結するパターンの数を求めるのに、60×34を計算するんだけど
このままだと、３人が連結する場合が二重にカウントされているのよ。
なぜかというと、３人の連結ブロック（一直線でもL字型でも）を２人の連結ブロックと１人に分解する仕方が２通りあるからよ。
だから３人が連結する場合の148通りを60×34から引けばいいの。
あたしひとりでは>>451の解き方しか思いつかなかったけど
姐さんたちのいろいろな考え方を知れてとても勉強になったわ。
同じ問題でもいろいろな解き方があるのが数学の面白いところよね。
単純な問題だったけど、意外に奥深かったわ。
ところでこの問題の設定って割とありそうよね？
36人いたら３人くらいゲイがいてもおかしくないわよね？
そうするとゲイが隣同士になる確率26%って案外高いわ。
隣になって仲良くなれば、恋に発展する可能性も高まるわよね。
そういうナチュラルなゲイカップルって案外いるのかしら？ >>458
とてもよくわかったわ。
ありがとう。
この問題、かなり良問だと思うわ。
うさぎがゼロから完全にオリジナルで考えたのなら、
うさぎってかなり問題を作る力というかセンスというか、
すごい能力を持っているんじゃない？
現実問題としては釜かノンケかクラス全員公然としている状況は考え難いし、
カップルにまでなる可能性はかなり低いのではないかしら。
以前バディか何かのマンガで、好きだったけどノンケだと思っていた元クラスメイトと、
二丁目でバッタリ会って告られたんだっけ？
だけどその時には既に彼氏がいたから、過去の恋と割りきったみたいな話があったわ。
最近はカミングアウトの敷居も下がっているらしいからもしかしたらあるのかもしれないけど、
昭和ババアのあたしからしたら、到底考えられないことだわ。
ところでこれ、設定をより一般的な特性に変えれば、普通に良問として使えそうよね。
数字も変えれば難度調整もできそうだし。
ってか計算の手間の調整にしかならないかしら？ 分母が4桁になるような確率の問題は良問とは言えないわ >>459
あたし高校の時クラスに、初めて見た時あたしの中で衝撃が走ったぐらいあたし好みの運動部イケメンで
しかも言動からしてホモと思われる人がいたんだけど
文化系ナヨ釜のあたしは接点なくて話しかけたりできなかったし仲良くなれなかったの
もし席が隣になってたら仲良くなれたかしら、とふと思ったわ >>461
まあ！じゃああの問題は実体験から来てるのね。
いい問題になる訳だわ。納得したわ。
これからでもクラス会とかやれば話す機会作れるんじゃない？
それとももう別の人と付き合ってるからその必要もないのかな？
でも、あたしも付き合って10年以上の彼氏いるけど、
未だに高校時代や浪人時代に好きだった人は思い出したりするわよ。 >>462
「3人の女子と12人の男子が円卓に座るときに、(1) 3人の女子が連続して並ぶ確率を求めよ
(2) 少なくとも２人の女子が連続して並ぶ確率を求めよ」
ていう問題を見て思いついたんだけど、きっと、あたしの少年の日の淡い恋心が数学の問題に昇華されたのよw
長年の連れ合いがいるの素敵ね。
あたしは長い間恋人なしだから、ホモとかいっても概念になりつつあるわw
今年同窓会あるみたいだけど、あたしは行かないわ
ていうか学生時代に交流がなかった人と同窓会で会ったとき話せる？
どっちみち行ってもみんな結婚して子供いたりして、独身ホモは居場所がなさそうだし
みんなが仕事や家族の話で盛り上がる中、私は近況を聞かれても
「二面体群の正規部分群探して商群作ってたわ〜」みたいな話しかできないから無理ねw 数学の話ではなく雑談だからsageるわね。
>>463
あたしは同窓会やクラス会のたぐいは必ず参加するわ。
話題はいろいろだから、あまり参加したくない話題で盛り上がってるグループとは少し離れて、
違う話題してるグループに入ればいいのよ。
なんならこっちから話題振ったりしてもいいし。
当時あまり接点がなかった人と話すとき、あたしなら例えば、
当時あなたのことこういうイメージがあったんだけど、本人的にはどうだったの？
なんて話を振ったりすれば、とりあえず話は始められるわ。
そこからどこまでふくらませるかはその時次第だけど。
それからあたし、小中高ではカミングアウトしてなくて、大学ではしてたから、
大学の同窓会は気が楽よ。
小中時代の人には卒業して30年以上経って、数人の仲のいい人にだけカミングアウトし始めたわ。
小中時代の人って地元が同じだから、仲のいい人は生涯の友人になるじゃない？
だったらタイミングをみてきちんと理解してもらった方がいいと思うようになったの。
時代的にもかなり言いやすい時代になってきたしね。
ところで二面体群の商群ってZ/2Zでしょ。
イマイチ面白みに欠けるわね。 >>464
姐さんはコミュ力高い方なのね。
あたしの場合、あたしに会いたいっ言ってくれる１人〜２人と会うならいいけど、
そういうわけでもないたくさんの人と会うのがもともと苦手なのよね。
カムアしてない相手からなんで結婚しないの？とかきかれて困らない？
あたしも大学からはカムアしてる人もいるけど、高校までの人にはほとんどないわ。
あたし中高一貫校だったんだけど、中高の時に一番仲良かった人にもしてないし。
文化系なんだけど、かえって伝統的な価値観に凝り固まっていてゲイに対して偏見ある気がするの。
もう結婚して子供もいて、世界観違いすぎてどうしようもない気がするわ。ずっと会ってないけど。
中高の時の人ではひとりだけ、カムアした人はいるわ。卒業して何年かして、二人で会った時だけど。
不思議なことに、特に仲良くて一緒に遊んだってわけでもない子なの。
その子はバスケ部で運動神経抜群だったんだけど、そういう人って運動得意な人同士でつるんで
あたしみたいに運動音痴で女々しい奴は相手にしないようなこと多くない？
でもその子はそういうところがなかったの。席が近い時があって、そのとき話したりしてたのね。
やっぱり席って重要ねw
ところであなた、ものぐささんとは別の方よね？ あなたも数学科出身なのかしら。
二面体群の商群はZ/2Zだけとは限らないわ。pが素数のときの D_p ならそうなると思うけど。
正n角形の2π/nの回転をr, 鏡映のひとつをsで表すと
D_n = {e, r, r^2, …, r^{n-1}, s, rs, r^2s, …, r^{n-1}s}
となるわよね。 姐さんはおそらく正規部分群 {e, r, r^2, …, r^{n-1}} による商群を考えたられたのよね？
>>417に少し書いたけど、D_4の非自明な正規部分群は {e, r, r^2, r^3} 以外にも
{e, r^2, s, r^2s}, {e, r^2, rs, r^3s}, {e, r^2} があったわ。
{e, r^2, s, r^2s} と {e, r^2, rs, r^3s} はクラインの四元群Vに同型よ。
そしてD_4を位数4の正規部分群で割った商群はもちろんZ/2Zと同型だけど
D_4/{e, r^2} = { {e, r^2}, {r, r^3}, {s, r^2s}, {rs, r^3s} } ≅ V になったわ。
ここからはものぐささんへの報告も兼ねるんだけど、あたしあの後D_5とD_6も調べたの。
そしたらね、D_6は非自明な真部分群がなんと14個もあったの！そして非自明な正規部分群は
{e, r, r^2, r^3, r^4, r^5}, {e, r^2, r^4, s, r^2s, r^4s}, {e, r^2, r^4, rs, r^3s, r^5s}, {e, r^2, r^4}, {e, r^3}
の５つがあったの。２番目のと３番目のはD_3に同型よ。そして
D_6/{e, r^2, r^4} = { {e, r^2, r^4}, {r, r^3, r^5}, {s, r^2s, r^4s}, {rs, r^3s, r^5s} } ≅ V
D_6/{e, r^3} = { {e, r^3}, {r, r^4}, {r^2, r^5}, {s, r^3s}, {rs, r^4s}, {r^2s, r^5s} } ≅ D_3
となったわ。 D_3は非可換だから、これで非可換な商群が見つかって、>>420の疑問に答えられたわ。 >>465
ごめんなさいね。
あたしものぐさよ。
二面体群はかってにD_4イメージしてて、
正規部分群は裏返しなしの回転全てだけイメージしてたわ。
言われてみれば確かに他にも正規部分群あるね。
忘れてたわ。
しかもあなた、D_5にD_6まで全部調べたの？
本当に凄いわね。あたしには絶対できないわ。
しかも商群が非可換なものを見つけるなんて！！
あなた多分群についての感覚はそこらの数学科の人達よりよっぽど上だわ。
あたしだって商群が非可換になることがあるのは理屈では知ってるけど、
実際に具体例でいじったことないもの。
ん？そんなことはないか。有限群に限らなければ。
でも有限群に限らないと「理屈では確かにそうよね」
的な側面が増えるから有限群で具体例いじるのとは訳が違うわ。
ちなみに今イメージした無限群で商群が非可換なものの例は、
二行二列の正方行列(別にn行n列でもいいんだけど)の乗法群に対して、
正規部分群｛1, −1｝で商群とれば、そりゃ非可換になるでしょ、って例。
とくに具体的にいじるでもなく、元の乗法群が非可換なの知ってるから
しかも成分が全て正の行列同士だけでも既に非可換だから、
｛1, −1｝で割ったくらいで可換になるわけないのよ、って考えただけ。
あまり具体的ではなくて、どちらかというと観念的作業よね。
というかあなた、ゆくゆくはガロア理論理解したいっていってたわよね。
ガロア理論で使う群論はもう十分だと思うわ。
(ガロア群で有限群出てきて、その部分群が正規かどうかとか重要だけど、その程度の群論はバッチリじゃん)
ガロア理論をはやく理解したいなら、もう環論体論に進んでいいんじゃない？
ガロア理論で使う環論や体論は、可換環や可換体で足りるし、そんなに大変ではないと思うわ。
あ、あ〜あとガロア理論では体の自己同型群を考えるから、
その準備運動として、群の自己同型群を少しいじっておくのもいいかもしれない。
群の自己同型写像全体が群になっているっていう話。
その部分群で内部自己同型写像なんてのあったりするけど、
もう少し群論いじってからと思うなら、そういう方向でいじってみるのもありかも。
ちなみに話変わるけど、カミングアウトしてない人から結婚話振られたら、
こればっかりはご縁だからね〜で流すわ。
必要ならあまり結婚願望強くないし〜なんて付け加えれば、
まあだいたいそれでその話は終わるわ。
っていうかその話したくないオーラが相手にも伝わるからだと思うけど、
それくらい言えば相手も大抵それ以上突っ込んでこないことが多いわ。
あまりしつこいようなら、
「あのねえ、世の中結婚が全てって人ばかりじゃないのよ・・・」
とか視野の狭さを指摘するような話をするかもしれないけど、
そこまでいく人はまれだと思うわ。 あ、もちろん正方行列って、正方行列全てではなく正則行列のことね。
行列なんて久しく考えてなかったから言葉遣い間違えたわ。
逆行列持つものに限らないと乗法群にならないものね。 文章中の正規部分群｛1, －1｝の中の1って
[1 0
0 1]
の2×2単位行列のことね？
>>421書いた後でなんとなくD_6/{e, r^3}が非可換になりそうな予感がしたから、がんばってD_6まで調べてみることにしたのよ。
二面体群のこともいまいち理解できていない感じがしたから、二面体群により親しむ目的も兼ねてね。
それとね、二面体群は正n角形のn個の頂点の置換と同一視できるからS_nの部分群と同型である、という記述を見て
概念的には分かったんだけど、具体的にどう対応するのかあたし理解できていなかったのよ。
けど、だいぶ時間がかかったけど、理解したの。
正n角形の頂点を回転や裏返しする操作 f ∈ D_n を考えるわ。正n角形の頂点に順番に1, 2, …, nと名前をつけて
f に対応する S_n の要素をσとすると、σはどういう置換になるのかってことなんだけど、
操作fの終了後に頂点 i があるその場所に、操作前にあった頂点が j だとすると、σ(i) = j となるのね。
最初、感覚的に σ(j) = i の気がしちゃってたんだけど、これだと g ∈ D_n と τ∈ S_n が対応するとした時
g ∘ f とτσが対応するようにならないのよ。
σ(i) = j（したがってσ^{－1}(j) = i ）となることを理解するのに馬鹿みたいに何時間もかかっちゃったけど、分かってすっきりしたわ。
これでD_nがS_nのどういう部分群と同型になるかちゃんと理解できたわ。
まず r は巡回置換 (1 2 … n) に対応するわ。
sを正n角形の中心と頂点nを通る線を軸とする反転とすると、sは
nが奇数なら (1 n－1) (2 n－2) … ((n－1)/2 (n+1)/2) に
nが偶数なら (1 n－1) (2 n－2) … (n/2－1 n/2+1) に対応するわ。
従ってD_nはこれらから生成されるS_nの部分群と同型になるの。
例えば D_5 は (1 2 3 4 5) と (1 4)(2 3) から生成されるS_5の部分群と同型、
D_6 は (1 2 3 4 5 6) と (1 5)(2 4) から生成されるS_6の部分群と同型なの。
これで>>319の最後にある疑問にも部分的に答えたかしら。
位数が12までの非可換群でまだ調べてないのは位数12のdicyclic群ていうのだけになって、今はこれを調べ中よ。
これより高い位数の非可換群は、まず位数14のD_7があるけど、これはD_5と似た感じになることが目に見えているからもういいわ。
Wikipediaによると、その次の位数16の非可換群は9個！もあるそうで、さすがにこれ以上調べるのは無理w
群の具体例を調べてて感じたんだけど、群論の本もこういう具体例をいっぱい載せてくれたらいいのにと思ったわ。
とはいえ、あたしが今まで作ったノートがすでに20ページ超えてるから、市販の本で資料だけにそんなにページ数割けないのかもね。
数学の本て、定義→演繹のスタイルが定番だけど、先に具体例をいくつも出してから
「こんな法則がありそう」→「法則が証明できた」って流れの本があっても良くない？
あたしは具体例を調べれば調べるほど、群論の内容が理解がきてきたわ。
例えば積の表を作る時に、正規部分群の剰余類ごとにまとめて作ると、
できた表をブロックに分割するとそのまま商群の積の表になるって発見して、気付けば当たり前なんだけど面白かったわ。
共役作用の表から、軌道・固定部分群の定理の具体例をたくさん確認できたし。
あとSylowの定理１〜３、すべて勉強して一応証明も理解したんだけど、あたしが調べた例でも定理の内容を確認できたわ。
例えばD_6の正規でない部分群で {e, r^3, s, r^3s}, {e, r^3, rs, r^4s}, {e, r^3, r^2s, r^5s} と、
位数4の部分群が3つあったんだけど、12 = 2^2 × 3 だから、これらがD_6のSylow 2-部分群よね。
定理にいうようにお互いに共役になったし、Sylow 2-部分群の個数3は、12/2^2を割り切るし、2で割ると1余るわ。
いつもながら勉強のアドバイスありがとうね、ものぐささん。
結婚話はね、特に年上の人に振られる方が困るのよね〜。親戚のおばちゃん的に、良かれと思って話してくるからね。
そういう人の態度って責められるものでもないし、あたしも隠してる罪悪感もありつつ、ホモバレたらどうしようって恐怖もあってね。 行列の1はおっしゃる通り単位行列よ。
あたし位数12の四元数群なんて知らなかったからビックリしたわ。
有限群論はもうあたし、あなたにかなわないわ。
そこまで具体例を地道に調べたなら、もうかなり地力がついてるはずだわ。
教材はね〜
おっしゃる通り具体例たくさん扱った方が理解が深まるのは間違いないんだけど、
大学の授業で使うなら定義定理証明に、先生によってはちょっとした具体例が精一杯だものね。
独学用に具体例盛りだくさんのもあっていいとは思うけど、
やっぱりページ数がすごいことになりそうよね。
具体例をウリで出版するなら位数20くらいまでは載せないと格好つかないだろうけど、
そんなことしたら収拾つかなくなりそうよね。
「大学の教材より具体例を多目に載せてます！」ってのをウリにするのがせいぜいかしら。
「こんな法則がありそう」→「法則が証明できた」って流れ・・・本当はそれが理想よね。
でもシローを沢山の具体例で確認できたなんて羨ましいわ〜
そこまでやればあたしももっと群論得意になったでしょうに。
あたしはシローの時は証明一応理解して、一つか二つの例で確かめて済ませてしまったような気がするわ。
結婚話してきそうな年上の人には近づかないようにしたら？
クラス会なら基本同い年だから平気じゃない？
あとはどの範囲までホモバレしていいと思うか、とかにもよるわよね。
そういえばあまり関係ないけど昔120歳になった泉重千代さんが誕生日のインタビューで、
「とのような女性が好みですか？」との質問に「年上の人」と答えたのを思い出したわ。
あの歳でこのウイットは凄いと思ったわ。 なんとなく本屋に行ったら、加藤文元先生の「ガロア理論12講」て本が売ってたけど、これどうなのかしらね？
あたし、この人のことはこのスレで知って、イケメンってこととチャート式の本出してるってことしか知らないのw
つーかAmazonで「ガロア」で検索すると本がいっぱい出てきて選ぶのめんどくさいわw
あと「100年前の東大入試数学」て本も本屋で売ってて、これは面白そうだから買ったわ
大正前後の入試問題なんだけど、問題文が旧字体カタカナ文語調または英語なのw
鬼滅の刃の頃よねw あたし古文とか昔の雰囲気のもの好きだから面白いわ
今の高校生ではそもそも読んで理解できない人が多そうな問題文なのw
しかもやたら難しそうな問題が多くて、パッと見た感じ、あたしでは解けなそうなのが多いわ。
説明見ると、例えばテイラー展開の知識を前提としている問題とかあるみたいだから
それなら今の高校生が解けるレベルを完全に超えてるわよね。
でもよく考えると、旧制大学だから今の大学２年か３年からの過程の相当するのかしら？
それにしても100年前でそのレベルってすごくない？！
国全体の教育体制は今の方が絶対整っているはずだし、今は参考書もいっぱいあって簡単に手に入るけど
案外100年前の方が今よりレベル高かったのかもね あたしも加藤文元って人知らなかったのよ。
ネットで調べて専門分野見るとかなりあたしの指導教官と近いから、
名前知ってても良さそうなものだけど、あたし加藤先生といえば加藤和也先生しか知らないのよね。
当該分野のいろんな大学の大学院生が集まる合宿形式のセミナーにもいなかったし。
あたし彼と世代近いし、そのセミナー京大の人もいたのに、彼は参加してなかったのね。
なぜかしら。
本屋に売っていたという本、目次をネットで見たんだけど、
ガチ勉強するのではなく、ガロア理論が理解できる程度に勉強できればいいなら、
まあちょうどいいかもしれないわね。
ただ、どこまでを既知として書いているのかよくわからないのよね。
群論をかなり丁寧に書いているっぽい割には環論体論ほとんど触れずに
いきなり体の代数拡大に入ってるし。
本って相性も大きいから、良し悪しを現情報だけで判断するのは難しいわね。
あたしの時代の感覚で「いい本」ってのも、今の時代ならもっといい本がでてるかもだし、
著者が信用できる人かどうかも大きいと思うけど、あたしが知ってる人古い人だし。
ちなみにあたしの知ってる範囲で、そこまでガチではなくてガロア理論の本書いてる人調べてみたら、
草場公邦って人が「ガロワと方程式」って本書いてるみたい。
目次の量とページ数くらべたら、いろんなこと書いてる割にそんなに分厚くないから、
それぞれはさらりと流してるのかしらね。
流して読んでもいいし、それぞれいちいち突っ込んで調べながら読んでもいいかも。
一度切るわね。 今と昔のレベルについては、あたしは正直最近の教育レベルはかなり下がってると思うわ。
とくに20年くらい前だったかしら？
ゆとり教育とやらが始まって数学教育には絶望したわ。
円周率が3ってどういうことよ？
本来円周率って、その定義を理解したうえで、
その数値が3よりやや大きくて割り切れない不思議な数ってことで、
神秘的な感じがして好奇心を刺激するものだったじゃない？
だから概数としても3.14ってちょっと謎めいた数でやってたじゃない。
10年くらい前だったか、高校の内容から行列もなくなったし。
逆にあたしが知らないくらい昔はかなり無茶苦茶に詰め込んでいた時代もあったらしいわよ。
位相とかやってたとか、本当かしら？
それを考えたら戦前に相当高レベルのことやっていたとしてもあまり驚かないわ。
そもそも江戸時代の和算のレベルは世界的にも極めて高く、
トップレベルは現代の世界のトップレベルとも遜色なく、
民衆レベルもかなり数学人気があってレベルも高かったことがいろんなテレビや本を見てわかるわ。
まあテイラー展開を高校でやってた時代があったかどうかは知らないけど。 >>471
親切に調べてくれて本当にどうもありがとう！
そうよね、確かに本は好みとか相性があるから、実際に読んでみるしかないのよね。
草場公邦さんの本、Amazon見てみたらレビューでも評判良いし
本屋さんに行ったら現物があって、薄くてがんばれば読みきれそうだから買ってきたわ。
目次や索引見る限り、環って言葉は出てこないみたいだけど、
ガロワ理論を勉強するのに環論は知らなくてもとりあえず大丈夫なのね？
あたし代数の本は、群論の入門書と、ガロワ理論のことをほんの少しだけ紹介してる本と、あと
そのうち勉強しようと思って買ったまま本棚の肥やしになってるAlgebraみたいな題名の分厚い本しか持ってなくて
でも完璧主義だから本を途中から読むの嫌だから、もしそういう厚い本を読むなら最初から読むしかなくて
そしたらきっと線形代数の話とか始まったりしていつガロワ理論を勉強できるか分からないからどうしようって思ってたの。
だからガロワ理論だけの本でとりあえずサクッと勉強できれば良いかなとは思ったんだけど
でも300ページとかあると片手間で読むのはきついわねって思ってて。
この薄さならがんばれそうだわ。まあ、薄い方がかえって難しい可能性もあるけどね…
あたし、ほとんどの数学書、最初の方の例えば1/4とかを読んで、
「あ、なんかよく知らないよく分からないのが出てきたわ。他の本で補習しましょ」
とか思って別の本を読み始めて、また途中で挫折してってのを繰り返してるのw
そして途中で中断した本に戻った場合は、また最初から読み始めるのw
草場さんの本の前書きに、ガロワが18〜19歳で作った理論で予備知識も要らないから
やる気になれば現代人にとって理解するのは簡単、て書かれているわ。
そうよね、ガキが作ったものがBBAのアタシに分からないはずないから、がんばるわw
ところで、いろいろな大学の院生が集まる合宿ってとても楽しそうで良いわね。
専門的になってくると自分の学校の中だけだとお話できる相手がいなくなっちゃうのよね？ 工業高校卒で就職したアタシにとっては？？？な問題ばかりだけど、大学いく人達はこれが理解できちゃうの？ p^q＋q^p が素数となる素数p, qを全て求めよ。
京大の問題だって。 >>472
ゆとり教育の話だけど、教科書には円周率は3.14くらいって書いてあるけど
問題で約3で計算していいみたいのがあったのが誇張されて広まったとかじゃなかった？
そういえばあたし中学の頃、円周率60桁くらい暗唱してたわw
高校の学習指導要領って、どうやら行列が入っている時代と複素数平面が入っている時代があって
時間が足りないから、どちらかが入るともう片方がなくなるっていうのを何回も繰り返してるらしいわよ。
あたしも教科書に行列のってた記憶があるけど、2x2行列しか出てこないし、計算方法が書いてあるだけで
行列が線型写像であるとかそういう数学的意味は何も説明なかったから、ほんと馬鹿みたいと思ってたわ
そんなただの計算ゲーム教えるぐらいだったらなくて良いんじゃない？ってなったんじゃないの
和算は面白いわよね。数学の問題を書いた算額を神社やお寺に奉納してたっていうセンスが日本人すごいと思うわ 失礼、よく調べたら「行列 vs 複素数平面」じゃなくて「1次変換 vs 複素数平面」だったみたいね。
あたしの時は行列はのってたけど「1次変換 」が無かったみたいね。
「1次変換 」の内容で、行列が線型写像であるとかそういうこと習ったのかしら。 >>479
>>436にあるわ。あなた別人なの？ この問題有名なのかしら。 じゃあ、
x^3＋3367=2^n
を満たす正の整数の組(x, n)を全て求めよ。
数オリの問題だって。 >>473
買ったのね。
環論載ってないならなくてもいいのかもね。
正直あたしも環論はガロア理論的には、
体論の導入として役に立っただけのような気もするし。
ただ、ガロア理論とは別に整数論考える際には環論は役に立つから、
うさぎにはいずれ環論もやって欲しいとは思うけど。
algebraみたいな題名の分厚い本って何かしら？
洋書かしら？
気になるわ。
草場公邦の本は多分、比較的読みやすいと思うから頑張って読んでみてね。
それから、完璧主義って、初めての内容を読む時はあまりオススメできないわ。
完璧主義だと必ずどこかで止まってしまうもの。
多少よくわからないところがあっても、とりあえずまず読み進めることをオススメするわ。
それでどうしても読み進めなくなるほどわからなくなったときに初めて
わからなくなった原因と思われる所を調べてあげればいいわ。
ちょっと調べて、キチンとわからなくても、
読み進める程度にイメージできたらまた先を読み進める方を優先した方がいいと思うわ。
なんとなくでいいから、まず一通り読み終えてみて、そしたらわからなかった所のうち、調べるべき優先順位がみえてくると思うから、
あとはその優先順位と、どの程度調べたらいいかのバランスを考えて調べていけばいいわ。
全てわからなくても、知りたかったことのおおよその全体像が見えれば、
そこから先はどの程度の完璧度を求めるか自分で調節できるものね。
おおよその全体像が見えればそれで満足するかもしれないし。
ガロア理論に限っていえば、なぜ五次以上の解の公式が存在しないかの証明が納得いけば、
とりあえず満足できるのではないかしら？
合宿形式のセミナーってね〜
あたしそこでの講義の内容はほとんどわからなかったわ。
いろんな大学の人たちとの交流が楽しかった、だけだわ。
まあそれもけっこう大きなことだけどね。 >>476
円周率に関して、ゆとり教育の時にどうだったかは、あたしそんなに詳しくないから、
あなたの言うとおりかもしれないわ。
ちなみにあたしは円周率の暗唱は2〜30桁程度までだったわ。
高校の指導要領って、あたしの高校時代は一次変換まであったのよ。
複素数平面はなかったかも知れないけど、一次変換はかなり重要な内容だったわ。
複素数平面もできれば入れたいわよね。
だったら確率統計でも削れば？
↑応用数学を目の敵にする純粋数学信奉者の発想よw >>483
持ってる本の一冊はMichael Artin著なんだけど、勉強できてないうちに第2版が出ちゃったわ。
もうひとつはMacLane & Birkhoffよ。こちらは故人だから新しい版が出る心配ないわねw
あたし数学に限らず手に入れたけど読めずに溜まってる本いっぱいあるから恥ずかしいわ。
あたし完璧主義だから、数学の本読む時は基本、演習問題を全部解きながら読むの。
だから解けないのがあるとなかなか先に進めなくて困るのよw
まあ、時間かけても分からないのがあったらしょうがないからとばすけど。
最近群論を勉強してたのも、Introduction to Lattices and Orderていう本を読んでて
代数の本じゃないけど、群論の（正規）部分群が例で出されたり
これから群論の準同型定理に似たことをやるわね、みたいな話になったりしたから
「正規部分群とか準同型定理ってなんだっけ？ 群論復習しなきゃ」って思って
いったん中断して、群論の入門書引っ張り出して読んでたからなの。
それで正規部分群のイメージつかめないわって思ってたとこで、ものぐささんが助けてくたのよ。
おっしゃる通り、完璧主義になりすぎないでとりあえず一通り読むのもありかもね。
分からないところを調べるにしても、今はこうしてネット掲示板でアドバイスもらったり
Wikipediaで調べたりできるから、本当に助かるわよね。
インターネットがない時代は勉強するのどれだけ大変だったのかしら？って感じね。
あたしも数学じゃないけど、学生のとき合宿のサマースクールに参加したことあるわ。
全然分からない授業もあったけど、みんなそんなもんなんじゃないかしら。
円周率のこと調べたらWikipediaに記事があったわ。
https://ja.wikipedia.org/wiki/円周率は3
よく考えると「一次変換」って「線型写像」の別の訳語に過ぎないわよね。
ちゃんと意味を教えてもらうなら、高校でやる意味はありそうね。
あたしが線型代数に苦手意識あるのも、高校でちゃんとやらなかったせいもあるのかもね。
あたしも統計とか馬鹿にして勉強しようとさえしなかったんだけど、
実は一般の人にとっては、群論とかよりはるかに重要で実用性あるのよねw
正規分布の意味とか式とか、あたし知らないし、今更だけどちゃんと知りたいと思うわ。
実際に何かのデータをとると、正規分布にしたがうのよね？
確率も特に興味なかったけど、測度論を勉強しようとした時に関係あることを知って
これも勉強しなきゃって思ったわ。できてないけどw >>482
難しいわね。あたしには解けないわ。
3367を超える最小の2のべきは 2^12 = 4096 で、実際 9^3 + 3367 = 4096 だから (9, 12) は答えのひとつね。
それ以外にあるかなんだけど、アタシの勘ではなさそうなんだけど、証明は分からないわ。
x > 9, n > 12 で x^3 ＋ 3367 = 2^n となるものがあったとして、 9^3 + 3367 = 4096 との差をとると、
x^3 − 9^3 = 2^n − 4096
となるわ。ここで m = n − 12 とおくと
(x − 9)(x^2 + 9x + 81) = 2^12(2^m − 1)
となるわ。 x^3 ＋ 3367 = 2^n を満たす x は奇数で、したがって x^2 + 9x + 81 も奇数なので
このことから x^2 + 9x + 81 が 2^m − 1 を割り切ることが分かるわ。
だからある整数kを使って 2^m − 1 = k(x^2 + 9x + 81) と書けて、x − 9 = k ∙ 2^12 となるわ。
ってとこまで考えてみたんだけど、これ以上は考えを進められなかったわ。 嘘でしょw
アタシ見た瞬間分かったわ
数オリって書いてあるからどうせnは3の倍数なんだろうなと思って試したら
本当に3の倍数だったわよw 本当にって、どうやって確認したの？
そのプロセスを書いてよ。 >>487
どういうこと？ (9, 12)以外の答えを見つけたの？ それとも(9, 12)以外に答えがないことを証明したの？ まあnが3の倍数なら移項して因数分解できるから、
nが3の倍数だといいな、と思いつつ、
3の倍数の場合とそうでない場合に分けて調べてみるのは
けっこういい考え方なのかもしれないわね。 思ったんだけど、もし n = 3k なら
x^3 < x^3 ＋ 3367 = 2^n = 2^{3k} = (2^k)^3
だから x < 2^k、つまり 2^k ≥ x + 1 ね。したがって
x^3 ＋ 3367 = (2^k)^3 ≥ (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
つまり
3x^2 + 3x + 1 ≤ 3367
x^2 + x − 1122 ≤ 0
(x + 34)(x − 33) ≤ 0
となって x ≤ 33 が分かるわ。
>>486から、x ≡ 9 (mod 2^12) だから、x = 9 となるしかないことが分かるわ。
そうすると、あとはnが3の倍数でない時の処理ね。 >>495
姐さんすごいわね。mod 63で考えるってどうやって思いつくの？
最後の 2^18 − (2^6 − 1)^3 の意味が分からないから説明してくださる？
2^6 − 1ってどこから出てきたの？ nが24以上の場合もこれで説明されているの？ wolfram姐さんは出題者とは別の方よね。出題者さんの用意してた答えも知りたいわ。 >>493 さんは >>495 さんと同一人物かしら？
495は単純計算とは言っても簡単な計算ではないわ。
機械がないときついわ。
18以上の場合も説明がよくわからないわ。
もっと手計算ですむ程度の手間で
分かりやすく解いて欲しいわ。 分かったわ。mod 7で考えるの。まず
0^3 ≡ 0, 1^3 ≡ 1, 2^3 ≡ 1, 3^3 ≡ 6, 4^3 ≡ 1, 5^3 ≡ 6, 6^3 ≡ 6.
一方
2^1 ≡ 2, 2^2 ≡ 4, 2^3 ≡ 1, 2^4 ≡ 2, …
となって、2^n は 2, 4, 1のパターンの繰り返しになるわ。
3367 ≡ 0 だから x^3 ≡ 2^n となるけど、上の計算から
x^3 ≡ 2^n ≡ 1
の可能性しかなくて、こうなるのはnが3の倍数の時に限るわ。
あとは>>494に書いた通りね。 その7はどこから出てきたのよ
7の必然性はどう落とし前つける気？
これが説明出来れば自ずと63の出どころも分かる >>500
落とし前つけるって何よw 恐いわw
分からないわ。mod 63を見て試しにその約数で調べてみただけよ。
こんな問題、いったいどうやって解き方思いつくの？
あえて言うとすれば、nが3の倍数だと示したいから、3つおきに繰り返すものを探すってことなのかしら？
wolfram姐さんがどうやって63を思いついたのかの説明待ちね。
あとは>>487さんや出題者さんの解説待ちね。 あら、7っててっきり3367の最小の素因数ってことで出てきたのかと思ったわ。
modで考えるときに3367なしで考えられる、できるだけ小さな数ってことで選んだのかと思ったわ。
うさぎさん、そうではなかったのね？ >>502
あたしはそう考えたわけではなかったわ。
3367を割り切らない数でのmodを考えて 3367 ≡ a となったとしても x^3 + a ≡ 2^n を解けばいいだけだから。
実際、63は3367の約数じゃないけど、wolfram姐さんはこのやり方でnが6の倍数だって見抜いてるでしょ。
簡単に繰り返すパターンを作りたいから、2^j ≡ 1 (mod 2^j−1) を利用したってことだと思うわ。
j = 6 なら 2^j−1 = 63、j = 3 なら 2^j−1 = 7となるわ。 >>496
自己レスだけど、>>495の最後の式の意味分かったわ。
要するにあたしが>>494でやってることと本質的に同じ。
x^3 + 3367 = 2^18 = (2^6)^3 なら、x < 2^6、つまりx ≤ 2^6 - 1となるけど、
そうすると 2^18 - x^3 ≥ 2^18 - (2^6 - 1)^3 > 3367となって矛盾ってことね。
24以上の場合はこの差がさらに開くからだめってことね。 ちなみに、>>494の後は
2^n = x^3 + 3367 > 2048 = 2^11
2^n = x^3 + 3367 ≤ 33^3 + 3367 = 39304 < 65536 = 2^16
から、11 < n < 16となって、3の倍数である n = 12 と n = 15 の場合だけ調べればいいから、
>>486みたいに複雑に考える必要はないわね。 出題者よ。
だいたい出揃ったようだから、想定していた解法を紹介するわ。
前半はまずnが3の倍数であることを示すんだけど、やり方は>>499の通り。
後半はn=3mとして2^m=kとすると、与式は
x^3＋3367=k^3
k^3−x^3=3367
(k−x)(k^2＋kx＋x^2)=3367
と変形できるけど、3367は素因数分解すると7*13*37だから、
また、前のカッコの二乗より後ろのカッコの方が大きい、かつ必ず正であることから、
前のカッコと後ろのカッコの組み合わせは、
(1, 3367), (7, 481), (13, 259)の三通りに限られるわ。
それぞれの場合の(k, x)を求めると、(34, 33), (16, 9), (15, 2)になるんだけど、
ここでkは2のべき(2^m=k)だったから、(k, x)=(16, 9)しか適さないことがわかるわ。
そうするとm=4だからn=3m=12, よって(x, n)=(9, 12)が唯一の解であることがわかるわ。
以上が想定していた解法よ。 >>494のxの範囲を絞り込む方法はあたし全然考えていなかったけど、
上手いわね。素晴らしいわ。 アタシが最近解いた問題で受験生にぴったりだと思ったものを出してみるわね
よかったら解いてみて
f∈ℝ[X]でf(ℝ-ℚ)⊂ℝ-ℚを満たすものを全て求めよ >>482の問題、よくできてるわね。
m^nが出てくる時にnをjで割った余りを調べたい場合、 mod (m^j－1) を考えるとうまくいくことがある、ていうのは勉強になったわ。
でもさ、そもそもこの問題を解く時に「nが3の倍数かも」って思うのだとしたら
「コンテストの問題でうまく解けるようにできているはずだから、きっとx^3に合わせてnも3で割り切れる」
ていう、数学的・論理的思考とは違う何か（空気を読む力かしらw？）を使っている気がしてもやもやするの。
例えばちょっと数を変えて
x^3 + 1319 = 2^n
x^3 + 7463 = 2^n
とかにしたら、とたんに解けない問題になるのかしら？ >>510
nが3の倍数云々に関しては、
>>490 的な考え方なら、
コンテスト云々とは関係なくて、
数学的思考とは違う、
とまではいえないのではないかしら？ >>510
てゆーかあなたが>>499 でやったやり方は、
nが3の倍数ではないか、という前提なしに、
nが3の倍数であることを導いてるじゃない？
510で例に出した問題も、
mod7か15、または31あたりでやれば
上手くいかないかしら？ >>509
すぐに範囲外！範囲外！って騒ぎ立てるの
バカマンコみたいだからやめてほしいわ。 >>513
ここは基本的に数学が専門ではない理系の人が想定されているから、大学受験の範囲外だとダメなのよ。 >>511
うーん、そうなんだけど、あたしが言いたいのは、nが3の倍数じゃないと解けないの？ってこと。
一般的な解法はないの？
>>499は、3の倍数だったらいいなという希望のもと、mod 2^3－1を調べるという行為でしょ。
調べて運良く3の倍数だったらいいけど、そうじゃなかったら詰むの？
mod 15 や 31 で考えると、nを4や5で割った余りについて何か分かるかもしれないけど
nが3の倍数じゃないと、因数分解を考えたり>>494の方法を使ったりすることができないのよ。
>>510に書いた例は(9, 11)と(9, 13)が答えになっているけど、これ以外に答えがあるかは分からないわ。なさそうだけど。 >>513
あなた>>508さんなの？
まずさ、ℝ[X]ていう表記が、あたしを含め一般人には馴染みの無いものなのよ。
これ、実数係数のXの多項式の集合のことなのね？
ほとんどの人にとっては問題の意味すら分からないから「受験生にぴったり」って冗談とか煽りに見えるのよ。
でもそういう意図で書いたわけではないのね？
それなら、表記の意味を説明したり、高校までの知識で解ける、とか書いたらいいと思うの。
または最初から
「実数係数の多項式f(X)で、どんな無理数aについてもf(a)が無理数になるようなfを全て求めよ」
みたいに、みんなに分かるように書いたらどうかしら？
そうじゃないと「どうせ高校までの知識では解けないんだろうな」て思われて、誰にも挑戦してもらえないわよ。
あたしも煽りだと思ったから無視しようと思ってたし。
でもそうじゃないのね？ >>516
>でもそうじゃないのね？
ええ、もちろん このままスレがなくなるのは寂しいからカキコ
ちょっと考えたけど分からないわ
あたしの勘だと有理数a, bを用いて aX + b となるもの全てかな？それ以外はダメな気がする
答え教えてね！ >>518
それって、a≠0でbは0でも可、よね？ >>519は何か変だけど、言いたいことは分かる気がする >>519
あ、その通りね。ちゃんと考えていなかったわ。
おかげで気付いたけど、a = 0の時は定数項が無理数ならいいわね。
書き直すと、0でない有理数aと任意の有理数bでf(X) = aX + bと書けるものと
任意の無理数cでf(X) = cと書けるものになるかしら。 定数項が無理数だと、f∈ℝ[X] にならないわよ。 f∈ℝ[X]がf(ℝ-ℚ)⊂ℝ-ℚを満たしている
deg(f)>0⇒f∈ℚ[X]を示せ >>524
これは何なの？ >>508の問題のヒントなの？
コメントも何もなく問題だけ書かれても意味わかんないわ
ちゃんと読む人に意図が伝わるように書いて、会話にしてよ
二行目は一行目の必要条件なのか知らないけど、十分条件ではないわよね
例えば f(X) = X^2 なら deg(f) = 2, f ∈ ℚ[X] だけど f(√3) = 3 ∈ ℚ となるわ
そういうのがあるから、2次以上の項があるのはダメかなって気がしたのよね >>528
大学入試で？？
とりあえず1次式に限れば分かったわ。f(X) = aX + b, a ≠ 0 とするわ。
aとbのうち片方だけ無理数の場合は、-b/aは無理数で f(-b/a) = 0 は有理数だから条件を満たさないわ。
次にaとbの両方が無理数の場合を考えるわ。
もし-b/aが無理数なら、上と同じで f(-b/a) = 0 が有理数だから条件を満たさないわ。
もし-b/aが有理数なら 1/a - b/a が無理数で f(1/a - b/a) = 1 が有理数だから条件を満たさないわ。
2次以上の場合は分からないわ。 大学院入試なの？
「あなた方」ってw そもそもこれちょっとでも解こうとしたのアタシだけでしょ
あたしは>>518に書いたけど分からないから早く答えを教えて欲しいの >>524が大学院入試な訳がない
あまりにも簡単すぎる
大学入試なら程よい問題だろう だから、記号にこだわってる大馬鹿は引っ込んでて〜
何度も言わせないで〜 なんか荒れてきたわね
あたしは高校で習わないことを話してはいけないとは思ってないわ
でも問題を出すんだったら、読む人が理解できるように書かなきゃ不親切だし
解答してもらうことも期待できないから、出題者にとってもデメリットよね
みんなと交流する気がないなら、なんでわざわざ掲示板に書き込むのか分からないわ
もう誰も解答書かないだろうから、出題者は出てきて解説しなさいよ ていうかもう我慢できなくなったから調べたわ。
https://math.stackexchange.com/questions/2202087/fx-axb-for-some-a-b-in-mathbbq-if-f-mathbbq-subset-mathbbq-and
この問題とほぼ同じね。解答を説明するわ。
f(X)をn次式とするわ。y = f(x) のグラフ上の点で、y座標が y_0, y_1, …, y_n の異なる有理数になる点を選ぶわ。
それらの点のx座標 x_0, x_1, …, x_n は、fの性質からすべて有理数になるわ。
ここでラグランジュ補完を使えばfが定まって、この係数は有理数になるのね。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ラグランジュ補間
あたしはこんなテクニック知らなかったわ。または単に
f(X) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_1 x + a_0
とおいて x_0, x_1, … x_n を代入したものを作って、この連立一次方程式を解けばいいんだけど
そうすると、この x_0, x_1, … x_n のべきできた行列が逆行列を持つかどうかが問題になるんだけど
これはヴァンデルモンド行列と言って、x_0, x_1, … x_n がすべて異なる時に逆行列を持つんだって。
これも線型代数ちゃんと勉強していないあたしは知らなかったわ。
逆行列を持つなら、fの係数 a_0, a_1, …, a_n は有理数の加減乗除で出るから有理数になるわ。
次にfが2次以上でないことを示すんだけど、二人の解答者が異なる解法を示しているわ。
どんな無理数を入れても無理数が出てくるという性質は、式全体に有理数を足したり0でない有理数を掛けたりしても変わらないから、そうして変形したものについて調べれば十分なの。
fは係数がすべて有理数だから、適当な整数をかけて、適当な整数を足せば、xの最高次の係数が正で、定数項が0になるわ。
以下ではこれを改めてfとするわ。
ここでaを十分に大きな素数とすると、f(x) - a = 0 は最高次の係数が正だから、実数解を持つわ。
もしこの解が互いに素な整数b, cを用いて b/c と表せるなら、有理根定理（あたしこんな定理知らなかったわ）から
bはaの約数、cは最高次の係数の約数となるわ。aは素数だから b = a か b = 1 ね。
最高次係数の約数cをひとつ固定して考えると、xが十分に大きいと f(x) ≈ (最高次の係数) x^n だから
aを十分に大きく取れば f(a/c) - a > 0 となるから、a/c は f(x) - a = 0 の解となりえないの。
b = 1の場合ははっきり書かれてないけど、aを十分大きく取れば（fの係数の絶対値の最大をmとすれば、nmより大きくすればいいわね）
f(1/c) - a < 0 となるから 1/c もf(x) - a = 0 の解となりえないの。
以上から、f(x) - a = 0 の解は無理数ってことになって矛盾するわ。
もうひとりの解答ね。上と同様に、fは整数係数として、最高次の項を ax^n とするわ。
ここで a^{n-1}f(x/a)を改めてfとおけば、最高次の係数が1で（そういうのをモニックっていうんだって）それ以外の係数が整数になるわ。
fが2次以上だから、十分大きい整数Nをとれば、x ≥ N なら f′(x) > 1 となるわ。
すると f(N+1) と f(N) は整数で、平均値の定理から f(N+1) - f(N) > 1 となるけど、中間値の定理（これ高校で習うっけ？）から
f(c) = f(N) + 1となる c ∈ (N, N+1) が存在するわ。
f(c) = f(N) + 1が有理数だから、仮定からcも有理数だけどfがモニックだからcは整数となって c ∈ (N, N+1) と矛盾するの。
ってことなんだけど、あたしモニックていうものを知らなくて最後の部分わからなかったから調べたんだけど
整数係数のモニック方程式は整数以外の有理数解を持たないっていう性質があるのね。
リンク先の問題では f(ℚ) ⊂ ℚ という性質も仮定されているけど、実際には必要ないわね。
>>508では f(ℚ) ⊂ ℚ という条件がないから、結局あたしが>>521に書いたものが答えになると思うわ。
この問題が大学院入試として簡単すぎるかどうかあたしは知る由もないけど、
表記の問題は別としても（>>516のように書けば高校生でも理解できるけど）大学入試問題としてはありえないのは明らかね。
>>517 = 出題者だったの？ ちょっとでも信じたアタシが馬鹿だったわ。やっぱり煽りや釣りのたぐいだったのね。
もしそうじゃないんだったら、一般的な高校生が理解できる簡単な解法を示してちょうだいね。 あら、よく調べたわね
どうもありがとう
どちらの解答も理解はできるけどちょっと難しいわね
難しいというか高度というか
もう少し単純に高校生っぽく解けるのに、と思ってしまったわ
f∈ℤ[X]と考えてよいことはそこに書いてある以外にも高校生でも十分示せる方法があるのだから、
うさ子がブーブー(⁎⁍̴̆Ɛ⁍̴̆⁎)文句言ってるのはとてもじゃないけど受け付けられないわ じゃあさっさとその方法書けば？
書かない限りあんたは荒らしとして見られるのよ。 f∈ℚ[X]は数学的帰納法ですぐに分かるから省略するわね
f∈ℤ[X]と考えてかまわない
このあとは上でうさ子が紹介してくれたように色々な方法があるんだろうけど、アタシは最初見たときもっと単純に次のように考えたわ
fの最高次係数と互いに素な素数pをとり、pと互いに素な整数kでk/pがfの値域に含まれるものをとると
n:=deg(f)≧2ならば
f(X)=k/p
の解は無理数である
なぜならば、解が有理数だとしてa/b(a,bは互いに素な整数)とすると、
f(a/b)b^n=kb^n/p
で、左辺が整数なのでbがpの倍数となり、n≧2より右辺はpの倍数となるが、このときaがpの倍数となり、aとbが互いに素である仮定に反するからである
どう見ても大学入試レベルよね
うさはわざわざ難しい解き方を見つけてきて難しい難しい言ってるだけだと思うわ >>543
ありがとう。書かれている部分については納得したわ。確かに高校レベルね。
煽りだとか書いたのは言いすぎたわ。ごめんなさい。撤回するわ。
あなたがあまりにも引っ張ってスレも荒れ出したからイライラしたの。
けど
>f∈ℚ[X]は数学的帰納法ですぐに分かるから省略するわね
ここの部分解説して欲しいわ。
あたしはそもそも f ∈ ℚ[X] を示すところでつまづいたから、その先のことはほとんど考えてもなかったの。 >あたしはそもそも f ∈ ℚ[X] を示すところでつまづいたから、その先のことはほとんど考えてもなかったの。
たしかにそんな感じするわね
帰納法解説してやるかと次数が1の場合の>>529見たんだけど、なんか変だものね
こんな珍妙なやり方を編み出したってことは、つまり、fは無数の有理数に対して有理数の値をとる、という極めて基本的なことにすら気付けなかった……問題文からそれすらも読み取る能力がなかった、ってことよね
そうじゃないと529みたいな回りくどい方法をわざわざ書き込むはずないと思うの
だから、ひとつだけ訂正させて
>あなたがあまりにも引っ張ってスレも荒れ出したからイライラしたの。
これは明らかに間違いよ
この話題をあまりにも引っ張ったのではアタシではなく、他でもないあなた、うさ子よ
ごく基本的なことに気付けなかったあなたの無能さが招いたことよ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
