>>482
難しいわね。あたしには解けないわ。
3367を超える最小の2のべきは 2^12 = 4096 で、実際 9^3 + 3367 = 4096 だから (9, 12) は答えのひとつね。
それ以外にあるかなんだけど、アタシの勘ではなさそうなんだけど、証明は分からないわ。
x > 9, n > 12 で x^3 ＋ 3367 = 2^n となるものがあったとして、 9^3 + 3367 = 4096 との差をとると、
x^3 − 9^3 = 2^n − 4096
となるわ。ここで m = n − 12 とおくと
(x − 9)(x^2 + 9x + 81) = 2^12(2^m − 1)
となるわ。 x^3 ＋ 3367 = 2^n を満たす x は奇数で、したがって x^2 + 9x + 81 も奇数なので
このことから x^2 + 9x + 81 が 2^m − 1 を割り切ることが分かるわ。
だからある整数kを使って 2^m − 1 = k(x^2 + 9x + 81) と書けて、x − 9 = k ∙ 2^12 となるわ。
ってとこまで考えてみたんだけど、これ以上は考えを進められなかったわ。