ていうかもう我慢できなくなったから調べたわ。
https://math.stackexchange.com/questions/2202087/fx-axb-for-some-a-b-in-mathbbq-if-f-mathbbq-subset-mathbbq-and
この問題とほぼ同じね。解答を説明するわ。

f(X)をn次式とするわ。y = f(x) のグラフ上の点で、y座標が y_0, y_1, …, y_n の異なる有理数になる点を選ぶわ。
それらの点のx座標 x_0, x_1, …, x_n は、fの性質からすべて有理数になるわ。
ここでラグランジュ補完を使えばfが定まって、この係数は有理数になるのね。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ラグランジュ補間
あたしはこんなテクニック知らなかったわ。または単に
f(X) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_1 x + a_0
とおいて x_0, x_1, … x_n を代入したものを作って、この連立一次方程式を解けばいいんだけど
そうすると、この x_0, x_1, … x_n のべきできた行列が逆行列を持つかどうかが問題になるんだけど
これはヴァンデルモンド行列と言って、x_0, x_1, … x_n がすべて異なる時に逆行列を持つんだって。
これも線型代数ちゃんと勉強していないあたしは知らなかったわ。
逆行列を持つなら、fの係数 a_0, a_1, …, a_n は有理数の加減乗除で出るから有理数になるわ。

次にfが2次以上でないことを示すんだけど、二人の解答者が異なる解法を示しているわ。

どんな無理数を入れても無理数が出てくるという性質は、式全体に有理数を足したり0でない有理数を掛けたりしても変わらないから、そうして変形したものについて調べれば十分なの。
fは係数がすべて有理数だから、適当な整数をかけて、適当な整数を足せば、xの最高次の係数が正で、定数項が0になるわ。
以下ではこれを改めてfとするわ。
ここでaを十分に大きな素数とすると、f(x) - a = 0 は最高次の係数が正だから、実数解を持つわ。
もしこの解が互いに素な整数b, cを用いて b/c と表せるなら、有理根定理（あたしこんな定理知らなかったわ）から
bはaの約数、cは最高次の係数の約数となるわ。aは素数だから b = a か b = 1 ね。
最高次係数の約数cをひとつ固定して考えると、xが十分に大きいと f(x) ≈ (最高次の係数) x^n だから
aを十分に大きく取れば f(a/c) - a > 0 となるから、a/c は f(x) - a = 0 の解となりえないの。
b = 1の場合ははっきり書かれてないけど、aを十分大きく取れば（fの係数の絶対値の最大をmとすれば、nmより大きくすればいいわね）
f(1/c) - a < 0 となるから 1/c もf(x) - a = 0 の解となりえないの。
以上から、f(x) - a = 0 の解は無理数ってことになって矛盾するわ。

もうひとりの解答ね。上と同様に、fは整数係数として、最高次の項を ax^n とするわ。
ここで a^{n-1}f(x/a)を改めてfとおけば、最高次の係数が1で（そういうのをモニックっていうんだって）それ以外の係数が整数になるわ。
fが2次以上だから、十分大きい整数Nをとれば、x ≥ N なら f′(x) > 1 となるわ。
すると f(N+1) と f(N) は整数で、平均値の定理から f(N+1) - f(N) > 1 となるけど、中間値の定理（これ高校で習うっけ？）から
f(c) = f(N) + 1となる c ∈ (N, N+1) が存在するわ。
f(c) = f(N) + 1が有理数だから、仮定からcも有理数だけどfがモニックだからcは整数となって c ∈ (N, N+1) と矛盾するの。
ってことなんだけど、あたしモニックていうものを知らなくて最後の部分わからなかったから調べたんだけど
整数係数のモニック方程式は整数以外の有理数解を持たないっていう性質があるのね。

リンク先の問題では f(ℚ) ⊂ ℚ という性質も仮定されているけど、実際には必要ないわね。
>>508では f(ℚ) ⊂ ℚ という条件がないから、結局あたしが>>521に書いたものが答えになると思うわ。

この問題が大学院入試として簡単すぎるかどうかあたしは知る由もないけど、
表記の問題は別としても（>>516のように書けば高校生でも理解できるけど）大学入試問題としてはありえないのは明らかね。
>>517 = 出題者だったの？ ちょっとでも信じたアタシが馬鹿だったわ。やっぱり煽りや釣りのたぐいだったのね。
もしそうじゃないんだったら、一般的な高校生が理解できる簡単な解法を示してちょうだいね。