f∈ℤ[X]と考えてかまわない
このあとは上でうさ子が紹介してくれたように色々な方法があるんだろうけど、アタシは最初見たときもっと単純に次のように考えたわ
fの最高次係数と互いに素な素数pをとり、pと互いに素な整数kでk/pがfの値域に含まれるものをとると
n:=deg(f)≧2ならば
f(X)=k/p
の解は無理数である
なぜならば、解が有理数だとしてa/b(a,bは互いに素な整数)とすると、
f(a/b)b^n=kb^n/p
で、左辺が整数なのでbがpの倍数となり、n≧2より右辺はpの倍数となるが、このときaがpの倍数となり、aとbが互いに素である仮定に反するからである
どう見ても大学入試レベルよね
うさはわざわざ難しい解き方を見つけてきて難しい難しい言ってるだけだと思うわ