素数pはa[n]と互いに素とし、整数kはpと互いに素でk/pがfの値域に含まれるものとする
f(X)=k/p
解が有理数だとしてa/b(a,bは互いに素な整数)とすると
a[n](a/b)^n+a[n-1](a/b)^(n-1)+…+a[1](a/b)+a[0]=k/p
a[n]a^n+a[n-1]a^(n-1)b+…+a[1]ab^(n-1)+a[0]b^n=kb^n/p
で、左辺が整数なので右辺も整数だからbがpの倍数となり、n≧2より右辺はpの倍数となるが、
a[n]a^n=-a[n-1]a^(n-1)b-…-a[1]ab^(n-1)-a[0]b^n+kb^n/p
なのでaがpの倍数となり、aとbが互いに素である仮定に反する