任意のnに対して X^2 + Y^2 = 41^n となるX, Yが存在することを示すわ。
そうすれば、x = 7^n⋅X, y = 7^n⋅Y とおくと
x^2 + y^2 = (7^n⋅X)^2 + (7^n⋅Y)^2 = 7^{2n} (X^2 + Y^2) = 49^n⋅41^n = (49⋅41)^n = 2009^n
となるから。
nが奇数、つまり n = 2k + 1（k ≥ 0）なら、X = 41^k⋅5, Y = 41^k⋅4 とすると
X^2 + Y^2 = (41^k⋅5)^2 + (41^k⋅4)^2
= (41^k)^2 (5^2 + 4^2) = 41^{2k}⋅41 = 41^{2k+1} = 41^n
nが偶数、つまり n = 2k + 2（k ≥ 0）なら、X = 41^k⋅40, Y = 41^k⋅9 とすると
X^2 + Y^2 = (41^k⋅40)^2 + (41^k⋅9)^2
= (41^k)^2 (40^2 + 9^2) = 41^{2k}⋅1681 = 41^{2k}⋅41^2 = 41^{2k+2} = 41^n
これで完了ね。
でも不思議な問題ね。
一応解けたけど、どうして 41 と 41^2 のどちらもが２つの平方数の和で表せるのか分からないわ。
偶然なの？ 41ってなにか特別な数なの？
アタシ、数学好きの姐さんたちとの交流を楽しむために来ているから、雰囲気悪くなってストレスを感じるなら本末転倒だし
匿名掲示板だからって他人に失礼な態度を取って平気な人の相手をするのは嫌だし
今回のことで反省もあったから、誰だか分からない名無しの出題に答えるのはもうやめようかと思ってたんだけど
問題見るとやっぱりつい解きたくなっちゃうわねw