>証明を丁寧にしてくれただけじゃない？
あら失礼、>>570に分かりにくいところがあって詳しく書いて欲しいって意味じゃなかったのね。
なぜn+1個なのかっていう根源的な疑問かしら。
>>540に少し書いたけど、結局、線型代数の話になるんじゃないかしら。
f(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n_1} + … + c_1 x + c_0
として、x = a_0, …, a_n のときに b_0, …, b_n という値をそれぞれ取るとするわ。
V = [
1 a_0 a_0^2 … a_0^n
1 a_1 a_1^2 … a_1^n
⋮
1 a_n a_n^2 … a_n^n ]
という (n+1) × (n+1) 行列を考えて、cをc_0, c_1, …, c_nを縦の並べた列ベクトル、
bで b_0, b_1, …, b_n をn+1個並べた列ベクトルとすると、f(a_i) = b_i の n+1個の式をまとめて
Vc = b
と表せるわよね。Vは a_0, …, a_n がすべて異なる時に限って行列式が0でなくて逆行列を持つそうよ。
そうすると
c = V^{−1}b
となって係数 c_0, c_1, …, c_n が一意に決まることになるわ。
もし a_0, …, a_n がすべて有理数ならV、そしてV^{−1}も有理数だけでできた行列になるから
b_0, b_1, …, b_n もすべて有理数なら、c_0, c_1, …, c_n も全部有理数になるわ。
帰納法とはやり方が違うけど、本質的に同じことをしてるはずだから、n+1個より多くの点に関する情報は必要ないはずなのよね。
だから「無数の」っていう条件は要らないんだと思うわ。
>>577さんはさすがね。そういう多項式が存在するってことは、上に書いた計算からわかるのよね。
>>573
>２つのn次多項式が異なるn＋1個のxに対して同じ値をとるなら、その２つは等しい多項式だっていうのならわかるけど、
これはそういう話ではないわよね？
確かにそういう話は聞いたことあるけど、アタシ、ちゃんと考えたことなかったから考えてみたわ。
n次多項式 f(x) と g(x) が a_0, …, a_n の点で同じ値をとするとするわ。
h(x) = f(x) − g(x) とおくと h(x) はn次以下の多項式で h(a_0) = … = h(a_n) = 0 となるわね。
ここで因数定理を使えば h(x) は (x−a_0)…(x−a_n) で割り切れることが分かって h(x) はn次以下だから h(x) = 0 が分かるわ。
でも上のように線型代数的に考察することもできるのよね。
h(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n_1} + … + c_1 x + c_0
とおけば
Vc = O （Oはゼロベクトル）
となって、Vは逆行列を持つから、その核は0次元で c = O に決まって h(x) = 0 になるわ。
そう考えると関係あると言えるんじゃないかしら。