とりあえず2009 = 7^2⋅41だからmod 7で考えてみたの。
0^2 ≡ 0, 1^2 ≡ 6^2 ≡ 1, 2^2 ≡ 5^2 ≡ 4, 3^2 ≡ 4^2 ≡ 2 だから、
x^2 + y^2 ≡ 0 となるには x ≡ y ≡ 0 の可能性しかないから、x = 7X, y = 7Y と置いたわ。
それで n = 1 の時には X^2 + Y^2 = 41 を解くしかなくなって、これは見つけられるわ。
nが2以上の場合はどうしたもんかな、って思ったんだけど
もし X^2 + Y^2 = 41^n となるX, Yがいつでも見つかるなら話が早いわよねって思って
とりあえず41^2を計算したら1681になって、え、これ 1600 + 81 じゃない！って感じで偶然できたのw
ちなみに入試の誘導ヒントとか、想定解法はどんなのだったのかしら。
>>578
4で割って1余る素数が２つの平方数の和で表せるなんて知らなかったわ！ 興味深いわ〜
そして複素数を考えるのすばらしい発想ね。確かに (x+iy)^2 を考えれば
(x^2 + y^2)^2 = (x^2 − y^2)^2 + (2xy)^2
ってなることにも気付いたわ。そうすると41^2が２つの平方数の和で表せるのは当たり前だったのね。
整閉だとかは何か知らないけど、難しいこと考えなくても
aとbが異なる正の整数なら a^2 − b^2 ≠ 0, 2ab ≠ 0 だから、
>>576のやり方を使えば任意のnに対して x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n となるx, yがあることがすぐ分かるわ。