さて、最後の三段階目よ。
ここでガウスの整数環の「素因数分解の一意性」のような性質を使うわ。
それで、紛らわしいから、普通の整数の素数を有理素数、
ガウスの整数環の素数をガウス素数と呼ぶことにするわね。
二段階目の結果により、x^2≡−1(mod p)を満たす整数xが存在するので、
そのxに対して、x^2＋1≡0(mod p)、つまりx^2＋1はpの倍数になるわ。
でも、ガウスの整数環で考えると、x^2＋1＝(x＋i)(x−i)と分解できるから、
有理素数pがもしガウス素数でもあるなら、「素因数分解の一意性」のような性質が成り立つんだから、
x＋iまたはx−iがpの倍数でなくてはならないことになるわよね。
だけどどんなガウスの整数a＋biもp倍したらap＋bpiなんだし、bは整数なんだから、
x＋iまたはx−iがpの倍数になることはありえないわよね。
ということは有理素数pはガウス素数ではない、つまりpはガウスの整数環では
さらに分解できるということになるわ。
普通の整数の範囲ではもう分解できないんだから、
分解できるならpは虚数のガウス素数a＋biを素因数に持つはずよ。
それで虚数のガウス整数a＋biの倍数で、最小の正の整数は、その共役との積、
つまり(a＋bi)(a−bi)＝a^2＋b^2
だからpはa^2＋b^2の倍数なんだけど、
pは有理素数だったからpはa^2＋b^2そのものでしかありえないわけよ。
よってpは二つの整数の平方の和、a^2＋b^2 と表せることが示されたわ。