ひゃだ、ありがとう。面白いわね！
証明自体はそんなに難しくないけど、なんか魔法みたいで狐につままれた気分ねw
第二段階目とか、どうしてそんなこと思いついたのって感じね。
証明する命題は整数の話しかしていないのに、証明には複素数を使うってのが目から鱗の発想ね！
これってつまり、整数の性質を明らかにするのには整数のことを考えてるだけじゃダメってことなのかしら？
興味深いわ。
ちなみにアタシが>>600でなんでかわからないって書いたのは
「4で割って3余る素数cは、正の整数a, bに対して a^2 + b^2 = c^2 となることがない」
で、これって「4で割って3余る素数は平方数の和で表せない」とは違うじゃない？
だって c ≡ 3 (mod 4) でも c^2 ≡ 1 (mod 4) となるもの。
でもあなたの説明を読んでわかったかも。
a^2 + b^2 = c^2 (a>0, b>0) が成り立つとするわ。すると (a＋bi)(a－bi) = c^2 となるわね。
ここで a＋bi は、p＋qi (p≠0, q≠0) の形のガウス素数を因数に持つはずよね？
だってもし a＋bi の素因数がすべて実数か純虚数なら、a＋bi も実数か純虚数になって、a≠0, b≠0 である仮定に反するから。
するとp＋qi はc^2の素因数だから、素因数分解の一意性を仮定すると、cの素因数でもあることになるのね。
このことからcは (p＋qi)(p－qi) = p^2+q^2で割り切れるのね？
けどcは有理素数だから、c = p^2+q^2 となって、したがって c ≡ 1 (mod 4) となってしまうのね？
あと思ったけど、4で割って3余る有理素数はガウス素数でもあるってことになるのかしら？