>>630 の言うことはわかったわ。
というかあたしもそんな感じだろうな、って気はしてた。
でも>>598 が解けたとしても、問題の本丸は
>おそらくこれが必要十分であることの証明は難しいだろう
の部分でしょ。
これは多分高校数学の範囲では難しいのではないかな。
というか、高校数学の範囲で理解は可能かもしれないけど、
言葉として体論の言葉を使わずに説明するのは難しいのではないかな、と思うの。
つまりあたしの考えた証明はこう。

ちょっと形を変えて
Π[i=0,1,…,n−1](x−√p[i])
(ここでp[0]=0とする)
とすれば、>>592 の式になるわよね。
任意のk=1,…,n−1及び任意の有理数xに対して
Π[i=1,…,k−1](x−√p[i])
はQ(√p[1],…,√p[k−1])の元だけど
Π[i=1,…,k](x−√p[i])
はQ(√p[1],…,√p[k−1])上2次の元でありこの体の元ではない。
ましてや有理数ではありえない。
として帰納的に証明する感じになるのではないかしら。

他にうまい証明があったら教えてちょうだい。