>>641
>Q(√p[1],…,√p[k－1])の元は、
>Σ[U⊂｛1,…,k－1｝](a_UΠ[i∈U]√p[i])
>であらわされる
ここまでは分かるわ。
>ってのは、Q上の次数と基底の数を考えれば明らかだし、
ここはよくわかんないけど。

でも、アタシがとにかく分からないのは、{ ∏[i∈U]√p[i] | U ⊂ {1, …, k－1} } が一次独立になるって部分。
あたしも>>592を考えたとき、結局これらが一次独立になるってことに帰着すると思って
帰納法で示せるかとか考えたけど、複雑すぎてわからなかったの。
直感的にはいかにも正しそうけど、アタシにとっては全然自明じゃないのよ。
もしこれが明らかと思えるなら、あなたはアタシや>>640さんの知らない知識を前提にしてるのではないかしら？

この一次独立性を示すには、√p[k] が ∏[i∈U]√p[i] (U ⊂ {1, …, k－1}) の一次結合で表せないといえば十分だと思うけど
>>639に書いたように、小さいkについて考えてもそんなに簡単に思えないの。

小さい方から考えると、まずある有理数aを用いて
√2 = a
と表せるかだけど、これは中高でならった方法で無理なことが分かるわ。

次は有理数a, bを用いて
√3 = a + b√2
と表せるか、ね。両辺を2乗して整理すると
(a^2+2b^2－3) + 2ab√2 = 0
となるわ。1と√2が一次独立という事実を使うと
a^2+2b^2－3 = 2ab = 0
となるわ。もし b = 0 なら √3 = a となって、√2 の時と同様にこれがあり得ないことを示せるわ。
もし a = 0 なら 2b^2 = 3 となって、これも b = m/nとかおいて矛盾を導くことになるわね。

じゃあその次は
√5 = a + b√2 + c√3 + d√2√3
だけど、両辺を2乗して整理すると
(a^2+2b^2+3c^2+6d^3－5) + (2ab+6cd)√2 + (2ac+4bd)√3 + (2ad+2bc)√2√3 = 0
で、1, √2, √3, √2√3が一次独立だから
a^2+2b^2+3c^2+6d^3－5 = 2ab+6cd = 2ac+4bd = 2ad+2bc = 0
となるけど、アタシにはもうわけわかんないわ。

やり方が悪いのかしら？ もっと簡単に一瞬でわかることなの？