それでいよいよ、√p[k] が Q(√p[1],…,√p[k−1])の元でないことを帰納法で示すわ。
っていうか、帰納法でしめしたいから、最初の命題、kでなくてnで
「√p[n] が Q(√p[1],…,√p[n−1])の元でないこと」
とするわね。
n＝1のとき√p[1]がQの元でないのは明らか。
n＝kのとき√p[k] が Q(√p[1],…,√p[k−1])の元でないとする。
n＝k＋1のとき、
もし√p[k＋1] が Q(√p[1],…,√p[k])の元であるなら
あるa,b∈Q(√p[1],…,√p[k−1])に対して
√p[k＋1] ＝a＋b√p[k]
変形して
a^2＋p[k]b^2−p[k＋1]＋2ab√p[k]＝0
よって2ab＝0かつa^2＋p[k]b^2−p[k＋1]＝0
a＝0またはb＝0であるから、
もしa＝0ならp[k]b^2＝p[k＋1]となるが、
>>645 で示したことよりこれはありえない。
もしb＝0ならa^2＝p[k＋1]となるが、
これも>>645 で示したことよりありえない。
以上より、√p[k＋1] は Q(√p[1],…,√p[k])の元ではない。