「√p[n] が Q(√p[1],…,√p[n−1])の元でないこと」

n＝1のとき√p[1]がQの元でないのは明らか。

1≦n≦kのとき√p[k] が Q(√p[1],…,√p[k−1])の元でないとする。
このとき√p[1],…,√p[k−1]はQ上一次独立になる。
そこでこのとき
「自然数nに対してa∈Q(√p[1],…,√p[n])ならば、
a^2は有理数の二乗又はそれにp[i]いくつか掛けたもの、
または無理数」
を示すことができる。(>>645 でOK 以後これを645と呼ぶことにする。)


n＝k＋1のとき、
もし√p[k＋1] が Q(√p[1],…,√p[k])の元であるなら
あるa,b∈Q(√p[1],…,√p[k−1])に対して
√p[k＋1] ＝a＋b√p[k]
変形して
a^2＋p[k]b^2−p[k＋1]＋2ab√p[k]＝0
よって2ab＝0かつa^2＋p[k]b^2−p[k＋1]＝0
a＝0またはb＝0であるから、
もしa＝0ならp[k]b^2＝p[k＋1]となるが、645よりこれはありえない。
もしb＝0ならa^2＝p[k＋1]となるが、これも645よりありえない。
以上より、√p[k＋1] は Q(√p[1],…,√p[k])の元ではない。