>>668 みたいな、全く理由も書かないで否定するだけなのは、
訳もわからず闇雲に否定するのとかわらないから、
荒らしみたいなものだと思うとして、

>>669
前提っていうのは一次独立性のことね？
帰納法については
(a[1]√n[1]＋…＋a[k]√n[k])^2
が無理数だということを使ったつもりだったから、
議論に関係ないと書かれたの読んだときは、ちょっと「えっ？」って思ったの。
帰納法の仮定も使っているつもりだったし。
でもそこから先を見てわかった気がしたわ。
わざわざ具体例まで出してくれたから、とてもわかりやすかったけど、
要は
(a[1]√n[1]＋…＋a[k]√n[k])^2
を展開したときに、ルートの中が素数とは限らないから、
異なる組み合わせから同類項が出てくることがあり、
ルートの項の数がkC2より小さくなることもある。
だからルートの項の数を根拠にした>>645 の帰納法は成り立たない、ってことよね。

>>645 の証明はやり直しが必要ね。
帰納法は確かに使えそうもないわ。
そこであたしまた考えたわ。
>もしこれが一つの項だとすると、
a^2は有理数の二乗又はそれにp[i]いくつか掛けたものであることは明らか。

これは大丈夫だから、問題は
>項の数が２つ以上のときにa^2が無理数であること

これよね。
これってa^2がもし有理数であるとすると、矛盾することを言えばいいのよね。
a^2が有理数ならaは有理数、またはある有理数qをつかって√qという形に表せなければならないけど、
項の数が２つ以上だからaは有理数ではない。
またQ(√p[1],…,√p[n])は体だから、aが√qの形に表せるとしたら、
それは∏[i∈U]√p[i] (U ⊂ {1, …, n})のいずれかの項になるが、
∏[i∈U]√p[i] (U ⊂ {1, …, n})の一次独立性のよってこれもありえない。
よってa^2は有理数であありえない。

これでどうかしら？