https://math.stackexchange.com/questions/30687/the-square-roots-of-different-primes-are-linearly-independent-over-the-field-of
このリンク先の一番上にある解答は、>>647に関係あると思うけど
ℚ(√p_1, …, √p_n) のℚ上のベクトル空間としての次元が2^nになることを証明してるわ。
ℚ(√p_1, …, √p_n) の要素はすべて ∏[i∈U]√p_i の一次結合で表せて ∏[i∈U]√p_i は全部で2^n個あるから
ℚ(√p_1, …, √p_n) の次元が2^nならば、これらは一次独立になるしかないわ。
体Lが体Kを拡大して得られる時、[L : K] でLをK上のベクトル空間と見た時の次元を表すのね？
そして、さらに体Mが体Lを拡大したもののときに、[M : K] = [M : L] [L : K] という法則が成り立つのね？
この解答はそれを利用しているわけだけど、アタシはまだ体論を勉強していないから
どうしてそうなのかとか分からないけど、体論を知っている姐さんたちは納得するのではないかしら？
他の解答を見るとガロア理論とも関係ある問題みたいね。
上に紹介した解法と本質的には同じものかもしれないけど、難しい理論を知らなくても理解できる証明を見つけたわ。
https://kam.mff.cuni.cz/~klazar/tomek_pr.pdf
これに従った証明を書いておくわ。以下では I ⊂ ℕ に対して
p(I) = ∏[i ∈ I] p_i
ℚ(J) = ℚ({√p_j | j ∈ J})
と書くわね。
命題 任意の有限集合 I, J ⊂ ℕ について、I ≠ ∅ かつ I ∩ J ≠ ∅ ならば √p(I) ∉ ℚ(J)
証明 これが成立しないとすると、I ≠ ∅ かつ I ∩ J ≠ ∅ で √p(I) ∈ ℚ(J) となる反例が
あることになるけど、その中でJの要素の数が最小となるものを考えるわ。
√p(I) ∉ ℚ なので J ≠ ∅ だから、Jからある要素 k ∈ J を選べるわ。
するとある a, b ∈ ℚ(J \ {k}) を使って
√p(I) = a + b √p_k
と書けるけど、ここで３つの場合にわけて考えるの。
1) a ≠ 0の場合、√p(I) = b √p_k となり、したがって
√p(I ⋃ {k}) = √p(I) √p_k = b √p_k √p_k = b p_k ∈ ℚ(J \ {k})
となり、|J \ {k}| < |J| だからJの最小性に矛盾。
2) b ≠ 0の場合、√p(I) = a ∈ ℚ(J \ {k}) となり、Jの最小性に矛盾。
3) ab = 0の場合、上の式を2乗して整理すると
2ab √p_k = p(I)^2 − a^2 − b^2 p_k
となるから
√p({k}) = √p_k = (p(I)^2 − a^2 − b^2 p_k) / 2ab ∈ ℚ(J \ {k})
となり、Jの最小性に矛盾。