記号の間違いが多かったから、訂正したものを書き込んでおくわ。

p(I) = ∏[i ∈ I] p_i
ℚ(J) = ℚ({√p_j | j ∈ J})

命題　任意の有限集合 I, J ⊂ ℕ について、I ≠ ∅ かつ I ∩ J = ∅ ならば √p(I) ∉ ℚ(J)

証明　これが成立しないとすると、I ≠ ∅ かつ I ∩ J = ∅ で √p(I) ∈ ℚ(J) となる反例が
あることになるけど、その中でJの要素の数が最小となるものを考えるわ。
√p(I) ∉ ℚ なので J ≠ ∅ だから、Jからある要素 k ∈ J を選べるわ。
するとある a, b ∈ ℚ(J∖{k}) を使って
√p(I) = a + b √p_k
と書けるけど、ここで３つの場合にわけて考えるの。

1) a = 0 の場合、√p(I) = b √p_k となり、したがって
√p(I ∪ {k}) = √p(I) √p_k = b √p_k √p_k = b p_k ∈ ℚ(J∖{k})
となり、|J∖{k}| < |J| だからJの最小性に矛盾。
（このとき (I ∪ {k}) ∩ (J∖{k}) = ∅ となっていることに注意）

2) b = 0 の場合、√p(I) = a ∈ ℚ(J∖{k}) となり、Jの最小性に矛盾。

3) ab ≠ 0 の場合、上の式を2乗して整理すると
2ab √p_k = p(I)^2 － a^2 － b^2 p_k
となるから
√p({k}) = √p_k = (p(I)^2 － a^2 － b^2 p_k) / 2ab ∈ ℚ(J∖{k})
となり、Jの最小性に矛盾。
（ {k} ∩ (J∖{k}) = ∅ に注意）