とりあえず [M : K] = [M : L] [L : K] の証明はできたと思うわ。
[L : K] = l, [M : L] = m とおいて、[M : K] = ml を示すわ。

LをK上のベクトル空間と見た時の基底を e_1, …, e_l
MをL上のベクトル空間と見た時の基底を f_1, …, f_m とするわ。
Mの任意の要素は ∑_{1 ≤ j ≤ m} b_j f_j (b_j ∈ L)と表せるけど
b_j ∈ L は ∑_{1 ≤ i ≤ l} a_ij e_i (a_ij ∈ K) と表せるから、これを上の式に代入すると
∑_{1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m} a_ij e_i f_j
となるから、 Mの任意の要素は、Kの要素を係数とする { e_i f_j | 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m } の一次結合で表せるわ。
従って [L : K] ≤ ml

あとは、{ e_i f_j | 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m } がK上一次独立であることを示せば [L : K] ≥ ml となって証明が完了するわ。
いま ∑_{1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m} a_ij e_i f_j = 0 (a_ij ∈ K) が成り立つとするわ。
f_j が共通するものをまとめると
∑_{1 ≤ j ≤ m} (∑_{1 ≤ i ≤ l} a_ij e_i) f_j = 0
となるわ。ここで各jについてf_jの係数 ∑_{1 ≤ i ≤ l} a_ij e_i は Lの要素で f_1, …, f_m はL上一次独立だから
∑_{1 ≤ i ≤ l} a_ij e_i = 0
が分かるわ。すると e_1, …, e_l がK上一次独立だから各iについて
a_ij = 0
これですべてのi, jについてa_ij = 0 となることがわかって、{ e_i f_j | 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m } が一次独立であることがわかったわ。

これで大丈夫かしら？