じゃあ一番目のリンク先を解読したものをアタシなりに書いてみるわ。

補題
Kはℚを含む体、pとqは正の整数とする。√p, √q, √(pq) のどれもKに属さないなら [K(√p, √q) : K] = 4

証明
仮定から√p ∉ K なので [K(√p) : K] = 2 ね。
[K(√p, √q) : K] = [K(√p, √q) : K(√p)] [K(√p) : K] なので [K(√p, √q) : K(√p)] = 2 を示せばいいけど、それには
√q = a + b√p
となる a, b ∈ K が存在するとして矛盾を導けばいいわ。３つの場合にわけて考えるの。

1) a = 0 の場合、√q = b√p となり、したがって
√(pq) = √q√p = b√p√p = bp ∈ K
となり、仮定 √(pq) ∉ K に矛盾。

2) b = 0 の場合、√q = a ∈ K となり、仮定 √q ∉ K に矛盾。

3) ab ≠ 0 の場合、√q = a + b√p を2乗して整理すると
2ab√p = q － a^2 － b^2 p
となるから
√p = (q － a^2 － b^2 p) / 2ab ∈ K
となり、仮定 √p ∉ K に矛盾。
QED

この補題の証明、>>701の命題の証明とそっくりでしょ。だから本質的には同じものっぽいって>>689で書いたの。

命題
a_1, a_2, a_3, … が正の整数の列で、空でない任意の有限集合 I ⊂ ℕ に対して √(∏_{i ∈ I} a_i) ∉ ℚ なら
[ℚ(√a_1, …, √a_n) : ℚ] = 2^n

証明
K_0 = ℚ
K_n = ℚ(√a_1, …, √a_n)
と表すことにするわ。nについての帰納法で [K_n : ℚ] = 2^n を示すわ。

（n = 0 の場合）
[K_0 : ℚ] = [ℚ : ℚ] = 1 = 2^0

（n = 1 の場合）
仮定から √a_1 ∉ ℚ なので [K_1 : ℚ] = [ℚ(√a_1) : ℚ] = 2 = 2^1

（n ≥ 2 の場合）
n−1まで命題が成り立つと仮定するわ。
[K_{n−1} : ℚ] = [K_{n−1} : K_{n−2}] [K_{n−2} : ℚ]
であって、帰納法の仮定から [K_{n−1} : ℚ] = 2^{n−1} そして [K_{n−2} : ℚ] = 2^{n−2} なので
[K_{n−1} : K_{n−2}] = 2^{n−1}/2^{n−2} = 2
つまり
[K_{n−2}(√a_{n−1}) : K_{n−2}] = 2
この式の√a_{n−1} を √a_n や √(a_{n−1} a_n) に変えても同じことが言えるので
[K_{n−2}(√a_n) : K_{n−2}] = 2
[K_{n−2}(√(a_{n−1} a_n)) : K_{n−2}] = 2
ｂｪ成り立つわ。ｂﾂまり
√a_{n−1} ∉ K_{n−2}
√a_n ∉ K_{n−2}
√(a_{n−1} a_n) ∉ K_{n−2}
ということになるの。したがって補題から
[K_n : K_{n−2}] = [K_{n−2}(√a_{n−1}, √a_n) : K_{n−2}] = 4
となるわ。帰納法の仮定より [K_{n−2} : ℚ] = 2^{n−2} なので
[K_n : ℚ] = [K_n : K_{n−2}] [K_{n−2} : ℚ] = 4 ⋅ 2^{n−2} = 2^n
QED