ちょっと、何よコレ！ キチガイみたいに難しいじゃない！ でも頑張ってみたわ。
与式をpについて解いて因数分解すると
p = m^3 + n^3 - 6mn + 8 = (m + n + 2)(m^2 - mn + n^2 - 2m - 2n + 4)
ここで m, n は正の整数だから m + n + 2 > 1 なので、これが素数になるのは
m^2 - mn + n^2 - 2m - 2n + 4 = 1
つまり
n^2 - (m + 2)n + (m^2 - 2m + 3) = 0
のときに限るわ。このnの2次方程式が解を持つから
判別式 = (m + 2)^2 - 4(m^2 - 2m + 3) = -3m^2 + 12m - 8 ≥ 0
したがって 2 - 2/√3 ≤ m ≤ 2 + 2/√3
なので考えられる可能性は m = 1, 2, 3
m = 1 なら n^2 - 3n + 2 = 0 なので n = 1, 2
m = 2 なら n^2 - 4n + 3 = 0 なので n = 1, 3
m = 3 なら n^2 - 5n + 6 = 0 なので n = 2, 3
この中で m+n+2 が素数になる組み合わせだけとればいいから、答えは
(m, n, p) = (1, 2, 5), (2, 1, 5), (2, 3, 7), (3, 2, 7).
これヒントもなしなの？ こんなの制限時間内で解ける受験生いるの？ もっと簡単な解法あるの？
そもそも与式が意味不明すぎるわ。この問題の数学的意味の解説を所望するわ。
つーかアタシが先に>>720で問題出したのに、解かないで新しい問題出すのはルール違反よw
アタシあなたの問題を２問も解いたんだから、あなたもお返しに>>720を解いてちょうだいw