>>762
(5n²+9)/(n²+1)=5+4/(n²+1)∈(4,9)
が有理数の平方だから、互いに素な正の整数p,q(p<q)が存在して
5+4/(n²+1)=(2+p/q)²
⇔4/(n²+1)=(p²+4pq-q²)/q²
となるが、右辺は既約分数であり、正の平方数が連続することはないからn²+1≠q²,4q²なので
2=p²+4pq-q²
となるしかないが、p²-q²=(p-q)(p+q)は偶数ならば4の倍数なのでこれも有り得ない