>>769
想定していた解法は、まず最初にn^2＋1と5n^2＋9の最大公約数が、
nが偶数の時は１で、nが奇数の時は2であることを求めるの。

もし与式が整数の二乗になるとすると、

nが偶数の時は互いに素なんだから、n^2＋1も5n^2＋9も
どちらも整数の二乗にならなければいけないけど、
n^2＋1は整数の二乗にならないので不可。

nが奇数の時は(n^2＋1)/2と(5n^2＋9)/2が互いに素な整数なので、
どちらも整数の二乗にならなければいけないけど、
nが奇数なのでn=2m+1とでもして分母を払うと
(5n^2＋9)/2＝10n^2+10n+7になって、
これはmod5で見ただけで整数の二乗にならないのがわかり不可。

以上よ。
純粋に整数問題的な解法を想定していたわ。
>>767さんは商の形にして範囲を絞る発想が見事だったわね。
ちなみに整数問題好きよ。