あら、アタシも気になったから、ちょっと調べてて、ちょうど書き込もうとしたところなの。
例を見た方がはやいわ。

65 = 5⋅13 = (2+i)(2-i)(3+2i)(3-2i)
だから
65^2 = {(2+i)(3+2i)}^2 {(2-i)(3-2i)}^2
= (4+7i)^2 (4-7i)^2 = (-33+56i)(-33+56i) = 33^2 + 56^2
65 = {(2+i)(3-2i)}^2 {(2-i)(3+2i)}^2
= (8-i)^2 (8+i)^2 = (63-16i)(63+16i) = 63^2 + 16^2

1105 = 5⋅13⋅17 = (2+i)(2-i)(3+2i)(3-2i)(4+i)(4-i)
だから
1105^2 = {(2+i)(3+2i)(4+i)}^2 {(2-i)(3-2i)(4-i)}^2
= (9+32i)^2 (9-32i)^2 = (-943+576i)^2 (-943-576i)^2 = 943^2 + 576^2
1105^2 = {(2+i)(3+2i)(4-i)}^2 {(2-i)(3-2i)(4+i)}^2
= (23+24i)^2 (23-24i)^2 = (-47+1104i)^2 (-47+1104i)^2 = 47^2 + 1104^2
1105^2 = {(2+i)(3-2i)(4+i)}^2 {(2-i)(3+2i)(4-i)}^2
= (33+4i)^2 (33-4i)^2 = (1073+264i)^2 (1073-264i)^2 = 1073^2 + 264^2
1105^2 = {(2+i)(3-2i)(4-i)}^2 {(2-i)(3+2i)(4+i)}^2
= (31-12i)^2 (31+12i)^2 = (817-744i)^2 (817+744i)^2 = 817^2 + 744^2

てことなのよ。>>773では (47, 1104, 1105)が抜けていたわね。

一般的に述べるわ。4で割って1余るk個の素数p_1, …, p_kを用意してその積をCとするわ。
以前説明していただいたことから、それぞれのp_jは(a+bi)(a-bi)と共役複素数の積に分解できるわ。
それぞれの共役複素数のペアから一個ずつ選んで積を作って、残ったものでも積を作ると
このふたつの積は、共役複素数同士の積だから共役複素数になるわね。（最初の例の4+7iと4-7i）
だからその２乗も共役複素数になるわ。（最初の例の-33+56iと-33+56i）
この共役複素数の実部をAと虚部をBとすると、C^2 = A^2 + B^2となるわ。
そして、それぞれのp_jの２つの因数がAとBに一個ずつ振り分けられているから
p_jがAやBを割り切ることはないから、A, B, Cは互いに素になるわね。
さて、積を作る時の組み合わせ方は 2^{k-1} 通りあるから
C^2が2^{k-1} 通りに正の平方数の和で表せることが期待できるの。
そのためには、次の２つのことを示せばいいんじゃないかしら。

(1) 異なる組み合わせから同じ共役複素数のペアが生じないこと
(2) 作った積が実数や純虚数にならないこと

(1)についてはわかったかもしれないから、書いてみるわ。

まず、4で割って1余る有理素数pが (a+bi)(a-bi) と表せるとすると
a+biとa-biはガウス素数になって、しかも同伴でないってことでいいかしら？
もしa+biがガウス素数でないなら、あるc+diで割れて、1 < |c+di| < |a+bi| になるわよね。
そしたらa-biもc-diで割れるはずから、結局pが (c+di)(c-di) = c^2 + d^2 で割れることになるけど
1 < c^2 + d^2 < a^2 + b^2 = p だから、これはpが有理素数であることに矛盾するわ。
そして共役複素数で同伴になるのは1+iと1-iか-1+iと-1-iだけなのよね？
もしa+biがこのどれかなら p = (a+bi)(a-bi) = 2 となって、4で割って1余ることに矛盾するわ。

それで、(1)の証明だけど、p_j の因数のガウス素数の片方を q_j、その共役のガウス素数をq_j* と書くことにするわ。
もし異なる組み合わせから同じ共役複素数のペアが生じたとすると、ある J ⊆ {1, …, k} があって
∏_{j ∈ J} q_j = ∏_{j ∈ J} q_j*
が成り立つってことよね。けれど、q_jとq_j*たちはお互いに同伴でないガウス素数だから
素因数分解の一意性を仮定すると、これはあり得ないってことでいいのかしら？

(2)はちょっとすぐにはわからないかったから、ステキな姐さんたちに任せるわね。