x[k]-y[k]√n=(x[1]-y[1]√n)^k
となるから、
x[k]^2-ny[k]^2
=(x[k]+y[k]√n)(x[k]-y[k]√n)
=(x[1]+y[1]√n)^k(x[1]-y[1]√n)^k
=(x[1]^2-ny[1]^2)^k
=(-1)^k
(2)この整数列が(1)でn=2としたものに一致することを示す
x[k+1]+y[k+1]√2
=(x[k]+2y[k])+(x[k]+y[k])√2
=(1+√2)x[k]+(2+√2)y[k]
=(1+√2)(x[k]+y[k]√2)
x[1]+y[1]√2=1+√2なのでx[k],y[k]は
x[k]+y[k]√2=(1+√2)^k
で定まるものに等しい
α=1+√2とおくと1-√2=(-α)^(-1)
x[k]=(α^k+(-α)^(-k))/2
y[k]=(α^k-(-α)^(-k))/2√2
なので
x[k]x[k+1]-2y[k]y[k+1]
=(α^k+(-α)^(-k))/2 (α^(k+1)+(-α)^(-k-1))/2 -2 (α^k-(-α)^(-k))/2√2 (α^(k+1)-(-α)^(-k-1))/2√2
=(x[2k+1]+(-1)^k)/2-(x[2k+1]-(-1)^k)/2
=(-1)^k
だから差は1であり
(x[k]x[k+1])^2+(2y[k]y[k+1])^2
={(x[2k+1]+(-1)^k)/2}^2+{(x[2k+1]-(-1)^k)/2}^2
=(x[2k+1]^2+1)/2
=y[2k+1]^2
だからピタゴラス数の小さい方2つである