大学入試の数学の問題を解くゲイ2022
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0809陽気な名無しさん2022/12/05(月) 23:42:53.820
>>808
よくわかったわね。
あたし最近年の瀬が近づいて忙しくなってるのもあって、
あんまり数学考える気分にならないのよね。
>>801 とか>>802 とか、腰すえて考えてみたい気もするんだけど、
なんだかそこまでバイタリティーがないのよね。
年とったからかしら？
0810Usagi2022/12/06(火) 22:30:18.760
>>809
よくわかったも何も、このスレでアタシが会話してる相手ってほぼあなたよねw
忙しい時は何かについてじっくり考える気にならないのは仕方ないわよ
そういえば「つねに今が自分の人生で一番若い時だ」ってどこかで見て、そうねって思ったのを思い出したわ
10年後、20年後に今の自分のことを思い出してみると「アタシぴちぴちだったわね」なんて思うのよ
でも人間って歳取ってもシワが増えるくらいで中身は大して変わらないような気もするのよね

ところでピタゴラス数の小さい方の差が1の話だけど、これは
(m^2－n^2) － 2mn = ±1
を解くことに相当するでしょ。書き直すと
(m－n)^2 － 2n^2 = ±1
となるわ。x = m－n、y = nとおくと
x^2 － 2y^2 = ±1
となるけど、これは y/x が√2の近似値を与えることもあって、紀元前のインドやギリシアですでに研究されてたらしいわ
798のやり方でこの方程式の解がすべて出るそうなんだけど、その理由は
1+√2が環ℤ[√2]の単元であるということと、ディリクレの単数定理からの帰結らしいけど
ここらへんのことはアタシまだ勉強してないことだからよくわからないわ
（もし間違って変なこと書いてたらごめんなさいね）

一般にdを平方数でない正の整数としたとき
x^2 － dy^2 = 1
はペル方程式って呼ばれてて、ラグランジュがこれには無限に多くの解があることを証明したんだって。一方
x^2 － dy^2 = －1
はdによって解ける場合と解けない場合があって、必要十分条件は完全にはわかってないそうよ
ちなみに798の問題で求めたyの値
1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, …
はペル数って名前がついているんだって。

801や802はペル方程式の一般化
x^2 － dy^2 = ±n
の話だけど、これも解けるための必要十分条件はわかっていないそうよ
ちょっと調べたんだけど、xとyが素の場合、これが解けるための必要条件は、uの合同式
u^2 ≡ d (mod n)
が解けることって書いてあったんだけど、無能でスジが悪いアタシにはなんでか分からなかったわ。
そしてdとnが素で 1 < u < n なら (d/n) = 1 となる（左辺はヤコビ記号）そうで
これまた知らないものが登場してアタシにはよく分からなかったわ
で d = 2 の場合の (2/n) = 1 は n ≡ ±1 (mod 8) と同値らしいわ
だから、8で割って3や5余る素数が無限にあるのなら（ありそうだけど、そうなのかしら？）801の答えはYESね
そして、x^2 － 2y^2 = ±n が解ける200以下のnは
1, 2, 4, 7, 8, 9, 14, 16, 17, 18, 23, 25, 28, 31, 32, 34, 36, 41, 46, 47, 49, 50,
56, 62, 63, 64, 68, 71, 72, 73, 79, 81, 82, 89, 92, 94, 97, 98, 100, 103, 112,
113, 119, 121, 124, 126, 127, 128, 136, 137, 142, 144, 146, 151, 153, 158,
161, 162, 164, 167, 169, 175, 178, 184, 188, 191, 193, 194, 196, 199, 200
らしいから、この中から奇数の合成数を調べていけば802の答えもわかるかもね。

でもね、801や802どう考えても大学入試レベルの話じゃないわ
これが解けないと次の話はダメとか言ったら、すでにそうなっているかもしれないけど
このスレとんでもなく閉鎖的になってしまうわ
このスレで難しい話がされるようになったのって、アタシにもかなり責任あるかもだけど
アタシは話の流れで自然に生じた疑問について調べたり思ったことを書いたりしてるだけで
一般的な人が知らない知識を前提にした問題を出題して他人を試したりしてないわ
798だって難しいことを知らなくても解けるように書いたし
それに書き込みも（もしかしてくどいと思われるくらい）丁寧に書いているの
スレがこういうふうになってきているのは良くないと思うわ
0811陽気な名無しさん2022/12/06(火) 22:34:39.300
よかったわ！
それなら>>806解いてちょうだい
806は大学入試だから
0812Usagi2022/12/06(火) 22:51:41.810
訂正
（誤）y/x が√2の近似値を与える
（正）x/y が√2の近似値を与える

実際、1/1, 3/2, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, …てなるわ
0813ものぐさ2022/12/07(水) 00:21:45.320
>>810
そうね、このスレのけっこうな量あたしとあなたのやり取りよね。
ヤコビ記号懐かしいわ。ルジャンドル記号の一般化よね。
(わざとキーワードだけチラ見せしてるわ。興味があれば平方剰余の相互法則とか調べてみて。)
それから算術級数定理ってのがあって、
nと互いに素なφ(n)個のa(1≦a＜n)に対して、p≡a(mod n)なる素数pは
それぞれ1/φ(n)ずつの割合で均等に無限に存在することが証明されてるわ。
これの証明は解析的整数論使うから、数学科4年くらいのレベルになるからやめとくけど。

あなたのリスト見ると、802については奇数の合成数は小さい順に9,25,49だから三番目は49かしら。
あら、どれも奇数の平方数を順に並べたものになってるわね。
偶然かしら？なにか理由あるのかしら？

あたし今考えるモードじゃないから、知ってることは披露できるけど、その他は丸投げでごめんなさいね。
0814ものぐさ2022/12/07(水) 00:24:06.710
もしかしてくどいと思われるくらい丁寧に書いているのは素晴らしいことだと思うわ。
こういう場所では特に。
0815Usagi2022/12/07(水) 20:59:02.460
>>813
平方剰余の相互法則とかのワードは前にもチラ見せされて興味はあるけど、そのうち勉強できればって感じね。

算術級数定理なんてあるのね！ すごい面白いわね。良いこと知ったわ、ありがとう。

確かにリストには奇数の平方数 9, 25, 49, 81,121, 169 もあるけど、平方数じゃないもあるわね。
63 = 3^2∙7
119 = 7∙17
153 = 3^2∙17
161 = 7∙23
175 = 5^2∙7

あと、このリストはxとyが素の場合に限定していないのよ。例えば
x^2 － 2y^2 = ±9
は解けるけど、(x, y) = (9, 6) が =+9 の方程式の最小解で (x, y) = (3, 3) が = −9 方程式の最小解で
他の解は (1+√2)^k(x+y√2) の係数から得られるから、x, yが互いに素でないから
m = x+y と n = y も互いに素でないから、802の条件には当てはまらないのよね。
0816ものぐさ2022/12/07(水) 21:56:36.970
あら、じゃあ>>801 算術級数定理で解けたとしていいけど、
>>802 はまだダメなのね。
リストには奇数の平方数は必ず入ってる感じかしらね。
平方数でないものは、何か規則性があるのかしらね。
0817陽気な名無しさん2022/12/08(木) 13:18:25.600
802は算術級数定理や平方剰余の法則など
解くだけで整数の基本的な性質が身につく
なかなか良い問題よね
0818Usagi2022/12/08(木) 20:14:30.250
>>816
考えたら、奇数に限らず平方数が入るのは当たり前だわ。
798で見たように x^2 - 2y^2 = ±1 は解けるから、その解の一組を(x, y)とすれば任意の整数N>1について
(Nx)^2 - 2(Ny)^2 = ±N^2
が成り立つわ。だけどこの場合、NxとNyは互いに素でないから求めているものではないのよね。

そして仕組みが少しわかったわ。782の話に似てるの。
810のリストに現れる奇素数の集合をPとおくわね。
P = {7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97, …}
815に書いた奇数の素因数分解を調べると、Pの要素以外の素数の指数はすべて偶数よね。
一般に、nがこの形に素因数分解されるなら、x^2 - 2y^2 = ±n は必ず解を持つわ。（★）
例えば、7 ∈ P だから x^2 - 2y^2 = 7 は解けて、実際
7 = 3^2 - 2∙1^2
だから
63 = 3^2∙7 = (3∙3)^2 - 2∙(3∙1)^2 = 9^2 - 2∙3^2
となるわ。
そして17 ∈ P だから x^2 - 2y^2 = 17 も解けて、実際
17 = 5^2 - 2∙2^2
だから
119 = 7∙17 = (3^2 - 2∙1^2)(5^2 - 2∙2^2) = (3+√2)(3-√2)(5+2√2)(5-2√2)
となるわ。そして (3+√2)(5+2√2) ＝ 19+11√2 だから804さんの書き込みを参照すると
119 = (19+11√2)(19-11√2) = 19^2 - 2∙11^2
とも書けるし、(3-√2)(5+2√2) ＝ 11+√2 だから
119 = (11+√2)(11-√2) = 11^2 - 2∙1^2
とも書けることがわかるわ。
ものぐささんの見つけたピタゴラス数 (11, 60, 61) は、方程式 x^2 - 2y^2 = -49 とその解 (x, y) = (1, 5) に対応するものだけど
-1=1^2 - 2∙1^2 = (1+√2)(1-√2)
49 = 7^2 = {(3+√2)(3-√2)}^2 = (3+√2)^2(3-√2)^2 = (11+6√2)(11-6√2)
だから
-49 = (-1)∙49 = (1+√2)(1-√2)(11+6√2)(11-6√2)
= {(1+√2)(11-6√2)}{(1-√2)(11+6√2)} = (-1+5√2)(-1-5√2) = 1^2 - 2∙5^2
となって出てくるのね。 x^2 - 2y^2 = -49 にはもちろん
-49 = 7^2∙(-1) = 7^2(1+√2)(1-√2) = (7+7√2)(7-7√2) = 7^2 - 2∙7^2
からわかるように (x, y) = (7, 7) という解もあるけど、これだと互いに素でなくなるわ。

アタシがまず分からないのは（★）の逆が言えるのかってことね。
あと x^2 - 2y^2 = ±9 には x^2 - 2y^2 = ±1の解に±3を掛けたものしか存在しないらしいけど、なぜなのかわからないわ。
素因数分解の一意性があるのなら話が進みそうだけど、環ℤ[√2]っておそらくそういう性質はないのよね？
ガウス整数についてお話されてた「同伴」って、iを掛けていって移り合えるって意味だと思うけど
ℤ[√2]の場合に対応する概念は ±1±√2 を掛けていって移り合えるってことでいいかしら？
でも例えば 7 = (3+√2)(3-√2) = (5+3√2)(5-3√2) だけど 3+√2 は 5+3√2 や 5-3√2 と同伴でないわよね？
だから一意分解整域っていうやつではないのよね？

分かってないことが多すぎるけど、802の答えについては、Pの要素だけの積で表されるものになりそうな予感がするわ。
もしそうならば、最初の３つは 49, 119, 161 になるわね。
0819ものぐさ2022/12/08(木) 23:01:45.570
>>818
ちょっとうさぎ、あなた間違ってるわよ。
あたしもくどいようだけど考えるモードじゃないから知識だけでものを言うけど、
ℤ[√2]は一意分解整域よ。
ガウスの整数環限定のつもりで書いたことを応用しようとしたのはわかるんだけど、
その応用は違うわ。
同伴の意味をきちんと定義しなかったのがいけなかったのね。
とりあえず今日はもう寝るから明日にでも時間見つけて書こうと思うけど、
もし今夜調べたりする余裕があるなら、可換環の「単元」って言葉の意味を調べてみて。
さらに余裕があれば、可換環の単元全体は乗法群をなすんだけれども、
ℤ[√2]の単元全体のなす群がどんな群なのか調べてみて。
明日早いからごめんなさいね。
おやすみなさい。
0820Usagi2022/12/09(金) 00:35:25.040
ものぐささん、返信ありがとう。
アタシの勝手な理解を書くから、時間がある時に間違いを教えていただけると嬉しいわ。
・可換環Rの元uが単元であるとは、ある v ∈ R があって uv = 1 となること
・r ∈ R と s ∈ R が同伴であるとは、Rのある単元uがあって r = us となること
・x+y√2 ∈ ℤ[√2] が単元であるための必要十分条件はx^2 - 2y^2 = ±1で、単元の集合は { ±(1±√2)^k | k ∈ ℤ }
0821ものぐさ2022/12/09(金) 09:04:33.490
>>うさぎ
>>820 に書いてあることはすべて正しいわ。
これらは>>819 見てから調べたのかしら？
それとも>>818 の時点でそういう理解をしていたのかしら？
でも、そうだとしたら818の
>>でも例えば 7 = (3+√2)(3-√2) = (5+3√2)(5-3√2) だけど 3+√2 は 5+3√2 や 5-3√2 と同伴でないわよね？
こんなこと書かないわよね。
だって5-3√2＝ (3+√2)(3-2√2)だけど 3-2√2＝(1-√2)^2だから単元だものね。
だから3+√2と5-3√2は同伴よ。

あなたが820で書いた上二つのことは、Rが何か体Kの部分環である場合、
割と容易に確認できるのよ。
一つ目の
>>・可換環Rの元uが単元であるとは、ある v ∈ R があって uv = 1 となること
これについてuが単元かどうか知りたければ、Kの中で1/uを計算してみて、
それがRに入ることがわかれば1/u=vであり、u,vは単元であることがわかるわ。
例えばさっきの3-2√2が単元かどうか調べたければ、1/(3-2√2)の分母を有理化すると、
(3+2√2)/(3-2√2)(3+2√2)=(3+2√2)/(9-8)=3+2√2 ∈ Rとなり
3+2√2も3-2√2も単元であることがわかるわ。
二つ目の
>>・r ∈ R と s ∈ R が同伴であるとは、Rのある単元uがあって r = us となること
これってKの中で書き換えればr/s=uなんだから、
これについてr ∈ R と s ∈ R が同伴であるかどうか知りたければ、
Kの中でr/sやs/rを計算してみて、それがRに入ることがわかればrとsが同伴であることがわかるわ。
何だったらr/sかs/rのどちらかだけ計算してみて、それが単元ならばrとsが同伴であることがわかるわ。
だから、>>3+√2 は 5+3√2 や 5-3√2 と同伴でないわよね？
と思ったら、割ってみればいいのよ。
(5-3√2)/(3+√2)=(5-3√2)(3-√2)/(3+√2)(3-√2)=(21-14√2)/7=3-2√2になるわ。

もちろんこれだけではℤ[√2]が一意分解整域であることは確認できていないけど、
一意分解整域かどうかの確認はちょっと難しいからやめておくわ。
環論ちゃんとやれば、ユークリッド整域だから一意分解整域だって言えるんだけど。
ちなみにユークリッド整域であることの証明はちょっとググったらすぐに出てきたわ。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13176452638
0822Usagi2022/12/09(金) 23:15:33.120
>>821
丁寧な解説どうもありがとう。よく分かったわ。
818の時点では、「単元」の定義はちゃんと把握してなかったんだけど、820の下の２行の内容は認識していたの。
同伴じゃないと思ったのは確認不足だったわ。
なんか同伴じゃなさそうっていう思い込みがあって、そして昨日計算に使った裏紙を確認したら、
(5+3√2)/(3+√2)の方だけ計算してダメなのを確認したところで終わってて、(5-3√2)/(3+√2)は調べてなかったわ。
以前、ℤ[√(－5)] は一意分解整域でないってお話されてたじゃない？
それで、ℤ[√？] みたいのは一意分解整域じゃないのがふつうなのかしら、とか勝手に思ってたの。
お手間をかけさせてしまってごめんなさい。
ユークリッド整域については何なのか知らないけど、これから勉強していきたいわ。

でもℤ[√2]が一意分解整域だということを認めるなら、818で書いた疑問は解けたわ。
（★）の逆を示したいけど、Pには2を含めなければいけないわね。つまり
P = { p | pは有理素数で、x^2 - 2y^2 = p が整数解を持つ } = { 2, 7, 17, 23, … }
とするわね。
q ∉ P を有理素数とするわ。 x^2 - 2y^2 = q は解を持たないから、qは環ℤ[√2]でも素数ね。
kを奇数として、nがq^kを因数に持つとするわ。
もし ±n = x^2 - 2y^2 = (x+y√2)(x-y√2) が成立するなら、qが環ℤ[√2]の素数だから
i + j = k となるiとjがあって、x+y√2 が q^i を、x-y√2 が q^j をそれぞれ因数に持つことになるわ。
kは奇数だから i ≠ j よ。仮に i < j とすると、x-y√2がq^jで割り切れるから、xもyもq^jで割り切れるわ。
でもそうすると、x+y√2もq^jで割れることになって、nの因数はq^{2j}となって矛盾するわ。
これで証明できてるかしら？

そういうわけで、q ∉ P が有理素数でk>0で ±n = x^2 - 2y^2 = (x+y√2)(x-y√2) がq^kを因数に持つなら
kは偶数で x+y√2 と x-y√2 がそれぞれ q^{k/2} を因数に持つのよ。
ただこの場合、xとyはともにqで割り切れるから互いに素ではなくなって、802の条件には当てはまらないの。
だから x^2 - 2y^2 = ±n でxとyが互いに素になるとしたら、nはPの要素以外の有理素数は因数に持たないことになるわ。
0823Usagi2022/12/09(金) 23:34:43.900
>q ∉ P を有理素数とするわ。 x^2 - 2y^2 = q は解を持たないから、qは環ℤ[√2]でも素数ね。
この部分、もっと厳密に考えなきゃいけないわよね。対偶を示すわ。
qが環ℤ[√2]で素数でない、つまり a+b√2 と c+d√2 があって
q = (a+b√2)(c+d√2)
と表せるとするわ。q ∈ ℤ なので q = q* だから
q^2 = qq* = (a+b√2)(c+d√2)(a-b√2)(c-d√2)
= {(a+b√2)(a-b√2)}{(c+d√2)(c-d√2)} = (a^2 - 2b^2)(c^2 - 2d^2)
a+b√2 と c+d√2 は単数でないので、a^2 - 2b^2 ≠ 1, c^2 - 2d^2 ≠ 1よ。
qは有理素数だから、これは
a^2 - 2b^2 = c^2 - 2d^2 = q
を意味し、q ∈ P となるわ。
0824Usagi2022/12/10(土) 00:08:41.910
４行目、正しくは↓
つまり単数でない a+b√2 と c+d√2 があって
0825Usagi2022/12/10(土) 00:09:34.670
３行目ね。もう本当やんなるわ
0826Usagi2022/12/10(土) 03:31:15.360
単数って書いたのは単元のことね。

822の最後に書いたことのほぼ逆が成り立つことも示しておきたいわ。

命題
nがPの要素以外の有理素数と2を因数に持たないなら、x^2 - 2y^2 = n の解でxとyが互いに素になるものがある。

補題１
pが有理素数で p = (a+b√2)(a-b√2) なら、a+b√2 と a-b√2 は環ℤ[√2]の素数である。
証明
もし a+b√2 が環ℤ[√2]の素数でないなら、単元でないc+d√2とe+f√2があって
a+b√2 = (c+d√2)(e+f√2) となるけど、a-b√2 = (a+b√2)* = {(c+d√2)(e+f√2)}* = (c-d√2)(e-f√2) だから
p = (a+b√2)(a-b√2) = (c+d√2)(e+f√2)(c-d√2)(e-f√2) = {(c+d√2)(c-d√2)}{(e+f√2)(e-f√2)} = (c^2 - 2d^2)(e^2 - 2f^2)
となるけど、c+d√2とe+f√2は単元でないから、c^2 - 2d^2 ≠ ±1, e^2 - 2f^2 ≠ ±1 だから、これはpが有理素数であることに反するわ。
a-b√2についても同様。QED

補題２
a+b√2 と c+d√2 が同伴なら a^2 - 2b^2 = ±(c^2 - 2d^2)
証明
a+b√2 と c+d√2 が同伴ならある単元 e+f√2 があって a+b√2 = (e+f√2)(c+d√2) となるわ。すると
a^2 - 2b^2 = (a+b√2)(a-b√2) = (e+f√2)(c+d√2)(e-f√2)(c-d√2)
= {(e+f√2)(e-f√2)}{(c+d√2)(c-d√2)} = (e^2 - 2f^2)(c^2 - 2d^2)
ね。e+f√2 は単元なので e^2 - 2f^2 = ±1 なので a^2 - 2b^2 = ±(c^2 - 2d^2) になるわ。QED

補題３
p ≠ 2 が有理素数で p = (a+b√2)(a-b√2) なら、a+b√2 と a-b√2 は同伴でない。
証明
もし a+b√2 と a-b√2 が同伴になるなら
(a+b√2)/(a-b√2) = (a + b√2)^2/(a^2 - 2b^2) = (a^2+2b^2 + 2ab√2)/p
= (a^2+2b^2)/p + (2ab/p)√2
が単元なので、2ab/p ∈ ℤ となってpは2abを割り切るけど p ≠ 2 だから、pはaかbを割り切るわ。
p = a^2 - 2b^2 なので、pがaかbを割り切るならもう片方も割り切ることになって
すると右辺 a^2 - 2b^2 はp^2で割り切れるけど、左辺 p はp^2で割り切れないから矛盾よ。QED

命題の証明
p_1, …, p_N ∈ P∖{2} を異なるN個の有理素数として n = p_1^{i_1} … p_N^{i_N} とするわ。
各kについて p_k = (a_k + b_k√2)(a_k - b_k√2) とするわ。このとき
x + y√2 = (a_1 + b_1√2)^{i_1} … (a_N + b_N√2)^{i_N} 　　(#)
としてxとyを定めれば
x - y√2 = (a_1 - b_1√2)^{i_1} … (a_N - b_N√2)^{i_N}
となって、x^2 - 2y^2 = n となるわね。このxとyが互いに素になることを示すわ。
もし、xとyがある有理素数pで割り切れるとしたら、(#)の左辺 x + y√2 もpで割り切れるわ。
(#)の右辺はPの要素以外の有理素数を因数に持たないから、p ∈ P ね。
だから p = (a+b√2)(a-b√2) と書けるわ。
補題１から a+b√2 と a-b√2 は環ℤ[√2]の素数で(#)の左辺の因数だから
右辺に現れる環ℤ[√2]の素数のどれか a_j + b_j√2 と a_k + b_k√2 にそれぞれ同伴じゃなければいけないわね。
すると補題２から
p_j = a_j^2 - 2b_j^2 = ±(a^2 - 2b^2) = ±(a_k^2 - 2b_k^2) = ±p_k
となるので j = k だけど、すると a+b√2 と a-b√2 が同伴であることになって補題３に矛盾するわ。QED

これでいいかしら。ここほんとにアタシのチラ裏すぎるわw
0828陽気な名無しさん2022/12/12(月) 23:20:06.560
>>827
あなた出題者さんね？
出題者さんの想定していた解法はどんなのだったのかしら？
教えて！
0830Usagi2022/12/15(木) 13:01:33.050
>>829
あら、ありがとう。アタシよく分からずに適当なこと書いてたけど
素数pについて p ≡ ±1 (mod 8) は x^2 － 2y^2 = p が解けるための必要十分条件なのね
（十分条件の証明はガウスの補題のくだりがアタシはちょっとわからないけど）
てことは x^2 － 2y^2 = n が解ける必要十分条件もわかってるってことよね
一般の x^2 － dy^2 = n の場合はどうなのかしら
これって ℤ[√d] が一意分解整域かどうかってこととも関係ありそうね
アタシがこのスレで教えてもらったことによると d が −1 や 2 の時は一意分解整域で −5 だと違うのよね
法則とかあるのかしら
0831陽気な名無しさん2022/12/27(火) 09:24:55.440
ずいぶん書き込みがないわね。
大丈夫かしら？
0832陽気な名無しさん2022/12/31(土) 23:24:25.470
「任意の実数x,yに対して、
"x=1ならばx+y=3"または"y=2ならばx+y=3"
が成立する。」

という命題の真偽を、小難しいことを考えずに
身体で納得する方法、なにかないかしら？

ああ、そう考えればたしかに簡単よね、
みたいなのを知りたいの
0833陽気な名無しさん2022/12/31(土) 23:24:48.640
ちなみに主婦さんたちの反応：


662可愛い奥様2022/10/12(水) 20:12:07.38ID:Ao6zC0+g0
「任意の実数x,yに対して、
"x=1ならばx+y=3"または"y=2ならばx+y=3"
が成立する。」

って正しいですか？

663可愛い奥様2022/10/12(水) 20:23:55.57ID:2PBsxrC40
>>662
任意の実数と定義してるのにx=1とかy=2って仮定していいものなの？
よかったとしても、そうするともう一方は自動的に2、もしくは1に決まるからその時点で「任意の実数」という前提が崩れるので正しい正しくないの前に命題としての形をなしてないと思う

664可愛い奥様2022/10/12(水) 21:37:04.82ID:O6U5xl8I0
任意じゃないからね
ブスの言う通りです

670可愛い奥様2022/10/13(木) 06:24:19.64ID:wEHd2s/B0
>>662
偽だと思う

680可愛い奥様2022/10/13(木) 20:11:37.55ID:AlTdBSw20
誰か>>662分かりませんか？
気になります

681可愛い奥様2022/10/13(木) 20:31:01.27ID:i6eYrTlN0
>>680
式以前に文章が成り立っていない

682可愛い奥様2022/10/13(木) 21:49:02.20ID:wEHd2s/B0
>>680
命題　　正しい（真）か正しくない（偽）か判定できる文章や式
任意　　全ての

どんな実数x、yについても
「xが1ならばx+yが3になる」または「yが2ならばx+yが3になる」が成り立つと言う命題なので、偽でしょう
前半の命題の反例はx=1かつy=0、後半はx=2かつx=5など
0834Usagi2023/01/01(日) 14:06:28.350
>>832
これを言語感覚だけで納得するのは難しいと思うの。
ひとつには、この命題は引用されている反応の最後の人みたいに
「任意の実数x,yに対してx=1ならばx+y=3」または「任意の実数x,yに対してy=2ならばx+y=3」
と誤読しやすいことがあるわ。
もうひとつには、数学の「PならばQ」はPが偽のとき自動的に真になるけど
これは自然言語の「PならばQ」の使い方とは違うから、直感的に理解するのが難しいのよ。

問題の命題だけど、もしこれが真でないとすると、ある実数x,yがあって
「x=1ならばx+y=3」と「y=2ならばx+y=3」がともに偽
つまりx=1かつy=2かつx+y≠3となるが、これは矛盾。
したがってこの命題は偽ではありえないから真になるわ。

xとyを固定して考えて、Pを「x=1」、Qを「y=2」、Rを「x+y=3」とおけば
この命題は (P→R)∨(Q→R) と表せるわ。これは (P∧Q)→R と古典論理で同値だから
「x=1かつy=2ならばx+y=3」と同じことになるけど、これは明らかに真よね。

でもこの同値性が、納得しにくいポイントなんだと思うわ。
(P→R)∨(Q→R) が真ならば (P∧Q)→R も真なのは明らかじゃない？
でも逆の (P∧Q)→R が真ならば (P→R)∨(Q→R) も真であるというのは
古典論理では成立するけど、直観主義論理では成立しないの。
これは、これを証明するには背理法を使わなければいけないことを意味するわ。
だからどうしても間接的な証明になるのよ。
0836Usagi2023/01/01(日) 14:48:06.470
>>835
なんでよ？　違うわ
0838Usagi2023/01/01(日) 15:11:25.610
>>837
なるほどね。でも違うわ。
うさぎは子供の時飼ってて好きだったし、セーラームーンも好きだからよ。
0839陽気な名無しさん2023/01/01(日) 21:13:19.670
>>834
ありがとう
0840陽気な名無しさん2023/01/02(月) 10:20:49.240
歳行ってからセーラームーンにハマったのではないとすれば
小学生のときにセーラームーンを見ていたという可能性が高いわけで
そうするとやはり36の年女では？
0841Usagi2023/01/02(月) 21:13:22.640
だから卯年じゃないんだってば
レディに年齢を聞くもんじゃないわっ
0842陽気な名無しさん2023/01/08(日) 16:34:23.330
面白い問題見つけたわ。
問題：
次の条件を満たす実数 k の範囲を求めよ。
(条件) 任意の実数 x に対して、
　　　　　　　 -(x+1)^2 ≦ y ≦ x^2+k
　　　が成り立つような実数 y が存在する。

出典は大学受験用の某塾の某講師の某SNSよ。
0843陽気な名無しさん2023/01/08(日) 19:28:36.110
y=x^2+kとy=-(x+1)^2が接するときのkの値をk_0として
k≧k_0
0844Usagi2023/01/09(月) 23:05:19.630
そこまで書くならk_0をちゃんと求めてあげなさいよ
問題の条件は、すべてのxに対して -(x+1)^2 ≤ x^2+k、つまり 2x^2 + 2x + k+1 ≥ 0 が成り立つことと同値
これはこの２次式の判別式 ≤ 0 であることだから、D/4 = 1^2 - 2(k+1) ≤ 0 から k ≥ -1/2 ね
k = -1/2 のときふたつの放物線が接するのよね
0845Usagi2023/01/09(月) 23:21:41.370
このスレそろそろ落ちるかと思ったけどなかなか落ちないわね
せっかくだから、前スレで解かれないまま残ってる問題を供養してあげたいわ

前スレ136さん
知恵袋に面白そうな問題あったわ

どの3点も同一線上にない n (≥ 2) 個の点があり、どの2点もどちらか一方を向いた矢印で結ばれている。
このとき、次の（条件）をみたす点Rが存在することを示せ。
（条件）点Rから他の任意の点に、矢印を1回または2回たどることで到達できる。


前スレ166さん
素朴すぎる問題かもだけど、どうかしら？
きちんと説明できる？

f(x)は全ての実数に対して定義された関数で、
任意の実数xに対して
f(x)>0
を満たしている
このとき、実数aで
f(a-1)+f(a+1)≧2f(a)
を満たすものが存在することを示せ
0847Usagi2023/01/10(火) 13:19:50.490
>>846
あなたがageてくれたの？ ありがとう
もちろんいろいろな人がたくさんカキコしてスレが盛り上がるのが理想だけど
書き込みがほとんどなくなっちゃったから、結果的に落ちても仕方ないわねって思っただけよ
難しすぎる問題を出しておいて解説やコメントしないで出し逃げする人とか
他人の特に欠点ともいえない部分をあげつらう人とか
そういうのの相手するのも疲れたし
がんばって長文カキコしても、もうほとんど反応ないし
さすがに誰もいないところに長文カキコし続けてひとりでスレを保持するほどアタシ病んでないから

もし暇だったら>>845に引用した問題解いてみてね
08488422023/01/10(火) 14:34:12.710
>>844
その解答、ある意味正解なんだけど、
うさぎさんなら、アタシが「面白い問題」って言った意味
わかってくれると思ったわ。
ちょっと残念。
これだけでは大して面白い問題ではないでしょう？
アタシが「面白い問題」って言った意味はね、この問題、
(条件) 任意の実数 x に対して、
-(x+1)^2 ≦ y ≦ x^2+k
が成り立つような実数 y が存在する。
を、
(条件) 「任意の実数 x に対して、
　　　　　　　 -(x+1)^2 ≦ y ≦ x^2+k」
　　　が成り立つような実数 y が存在する。
と解釈するか、
(条件) 任意の実数 x に対して、
　　　　　　　「 -(x+1)^2 ≦ y ≦ x^2+k
　　　が成り立つような実数 y が存在する。」
と解釈するかで答えが変わってくるのよ。
だから、この問題は、問題文が不適切、ということになるの。
>>844 は、下の解釈で解いた時の解答よね。
ここまで書けば、上の解釈ならどんな解答になるか、もうわかるわよね。
0849陽気な名無しさん2023/01/10(火) 16:48:48.69a
【芸能】田中道子１級建築士合格　合格率９・９％の超難関一発で突破
https://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/mnewsplus/1673295475/

令和4年設計製図問題
https://www.jaeic.or.jp/shiken/1k/1k-mondai.files/1k-2022-2nd-mondai.pdf
解答例
https://www.jaeic.or.jp/shiken/1k/1k-mondai.files/1k-2022-2nd-hyojunkaito-r.pdf

何これ…眩暈するわ
これって何時間以内に仕上げるのかしら。尊敬する(´･ω･｀)
0850Usagi2023/01/11(水) 10:14:36.320
>>848
あらやだ、メタ引っかけ問題だったのね？
上の解釈だと条件は -(x+1)^2の最大値 ≤ x^2+kの最小値 だから k ≥ 0 ね
言い訳ぽいけど、「任意の実数 x に対して、」の最後に読点があるじゃない？
もしこの読点がなければどちらにも読めるけど、これがあると下の解釈に見える気がするわ
もちろん書き言葉での表記上のことだから、この文を口で言ったらどちらにも解釈できるのは確かね
出典元の塾講師さんもこれは問題が不適切っておっしゃってたの？
こういう問題が入試で出て受験生を困惑させたことってあったのかしらね

英語だと上の解釈の場合は
There is some y ∈ ℝ such that for all x ∈ ℝ, …
下の解釈の場合は
For all x ∈ ℝ, there is some y ∈ ℝ such that …
となって混乱の余地がないわね。
そう考えるとこれは日本語特有の難しさね。
0851Usagi2023/01/11(水) 13:24:12.82H
よく考えたら英語でも
There is some y ∈ ℝ such that … for all x ∈ ℝ.
って書いたらどちらの解釈も可能だから、日本語特有ってことでもないわね
ふつう英語でこういう書き方をしないけど、その理由はまさに
どちらの意味で書いたのかという混乱を避けるためよね
08528422023/01/11(水) 17:06:15.760
>>850
出典元は、この問題を例に、
「すべて」と「ある」の注意点
ってタイトルの記事をネット上にあげてるのよ。
0854陽気な名無しさん2023/01/12(木) 07:45:00.060
同業者を口汚く罵ってる…
予備校界隈も恐ろしいわね
0855Usagi2023/01/12(木) 21:31:31.870
>>854
それって

このような出題をする人は、論理の理解が不十分、と言わざるを得ないでしょう

という部分のことかしら？ 口汚い罵りとまではとても言えないと思うけど
もしそういう問題が出されたら困るわけだし
実際にそういうことがあったのかどうかは知らないけど

まあでも的外れではあるわね
そういう出題をする人がいたとしたら、それは論理の理解が不十分なのではなく、日本語能力が不十分なだけよね
このふたつを混同してはいけないと思うわ
0857Usagi2023/01/12(木) 22:16:07.400
ただの一般論のようにも見えるわ
謎の一生懸命さみたいなものは感じるけど
でもtwitterってそういう所なのかもしれないし
アタシはえっちな画像のチェック以外でtwitter使わないからよく分からないわw
二番目のツイートは具体例がなくて何を言いたいのか分からないわ
0859Usagi2023/01/13(金) 16:38:48.770
あら、小競り合いがあったのね
元の問題のツイートは消されちゃったみたいだから、どういう問題文だったのか分からないけど
どうでもいいけど、二番目のツイートの人が

「∀x∃u 」であり「1+t^3-t>0（tの範囲求まらない）」と答える受験生はいないのか

て書いてるけど 1+t^3-t>0 ならtの範囲は決まるわよね
カルダノの公式使うと
t > ∛(-(1/2) + √(23/108)) + ∛(-(1/2) - √(23/108)) ≈ -1.325
てなるわね
0860陽気な名無しさん2023/01/22(日) 12:05:54.140
うさぎが数直線上をぴょんぴょん飛び跳ねています。
よく観察すると、うさぎは
0にいれば1秒後に確率√2-1で1へ、確率2-√2で-1へ移動し、
0にいなければ1秒後に確率1/2で+1、確率1/2で-1移動する
ようです。
0にいたうさぎがn秒後に再び0にいる確率が
無理数になるのはnがいくつのときでしょう？
0861Usagi2023/01/22(日) 21:20:27.240
ヤダ、面白い問題ね！ コレっていぢわる問題かしら？
無理数になる時はない、がアタシの答えよ。

簡単のためα= 2-√2, β=√2-1とおくわね。
うさぎがn秒後にxの位置にいる確率をP(x, n)で表すわね。
P(0, n)が常に有理数であることをnに関する帰納法で示すわ。

n = 0 の場合は、P(0, 0) = 1 だから成り立っているわね。

次に、n以下の全てのkについてP(0, k)が有理数であると仮定するわ。
このとき、P(0, n+1)も有理数であることを示したいんだけど、そのために
n以下の任意のkについて(★)が成り立つことをkに関する帰納法で示すわ。

(★) 任意の正の自然数mに対して、ある有理数qがあって P(-m, k) = qα, P(m, k) = qβ となる

(★)の証明：
k = 0 の場合は、P(-m, 0) = P(m, 0) = 0 だから q = 0 とすればいいわ。

次に、ある k < n で(★)が成り立つと仮定するわ。
・m = 1の場合
P(-1, k+1) = αP(0, k) + (1/2)P(-2, k)
P(1, k+1) = βP(0, k) + (1/2)P(2, k)
よね。帰納法の仮定からある有理数qがあって P(-2, k) = qβ, P(2, k) = qβ となるわ。
P(0, k)は有理数だから r = P(0, k)+(1/2)q とおくとrは有理数で P(-1, k+1) = rα, P(1, k+1) = rβ となるわ。

・m ≥ 2の場合
P(-m, k+1) = (1/2)P(-m+1, k) + (1/2)P(-m-1, k)
P(m, k+1) = (1/2)P(m-1, k) + (1/2)P(m+1, k)
よね。帰納法の仮定からある有理数qがあって P(-m+1, k) = qα, P(m-1, k) = qβ
同様に、ある有理数rがあって P(-m-1, k) = rα, P(m+1, k) = rβ となるわ。
したがって s = (1/2)(q+r)とおくとsは有理数で P(-m, k+1) = sα, P(m, k+1) = sβ となるわ。

これで(★)が示されたわね。

仕上げよ。(★)からある有理数qがあってP(-1, n) = qα, P(1, n) = qβ となるわ。α+β = 1 だから
P(0, n+1) = (1/2)P(-1, n) + (1/2)P(1, n) = (1/2)q(α+β) = (1/2)q
は有理数ね。これで最初の帰納法が完了したわ！

これで正解かしら？

ところで、P(0, n)はnが奇数の時0になるのは考えればすぐ分かるのよね。
nが偶数の時を計算してみたら P(0, 2) = 1/2, P(0, 4) = 3/8, (0, 6) = 5/16, P(0, 8) = 35/128
とかなったけど、一般式は分かるのかしらね？
0863Usagi2023/01/23(月) 01:03:29.490
>>862
まあ！
そうか、よく考えてみるとP(0, n)は上のα, βの値に依存しないからα=β=1/2の時を計算すればいいのよね
nが偶数の時、n回動くうち、正の方向にn/2回、負の方向にn/2回動けば0に戻るんだから
正の方向に動くn/2回をn回から選ぶことを考えると C(n, n/2) 通りの動き方があって
それぞれが発生する確率が (1/2)^n だから、P(0, n) = C(n, n/2)/2^n になるわね！

ところでnが奇数の時はC(n, n/2)は定義されないのよね？ それとも0なの？

そして>>860に答えるのに、そんなに複雑に考える必要なかったわね
n秒後にうさぎの原点からの距離が m (≥ 0) である確率をQ(m, n)とすると
Q(0, n+1) = (1/2)Q(1, n)
そして m ≥ 1 に対して
Q(m, n+1) = (1/2)Q(m-1, n) + (1/2)Q(m+1, n)
よね。Q(m, 0) はすべて有理数だから、Q(m, n) も全て有理数になるのは帰納法で簡単に分かるわ
>>861と比較すると P(0, n) = Q(0, n), P(-m, n) = αQ(m, n), P(m, n) = βQ(m, n) の関係があるわ
ついでに861の途中で「 P(-2, k) = qβ」て書いたのは「 P(-2, k) = qα」の書き間違いよ
0864陽気な名無しさん2023/01/23(月) 07:15:15.180
>>861
★が成り立つとは気付きませんでした
お見事です
0865Usagi2023/01/23(月) 21:16:21.480
>>864
お褒めいただけて嬉しいわ。

863に間違いがあったわ。正しくは
Q(0, n+1) = (1/2)Q(1, n)
Q(1, n+1) = Q(0, n) + (1/2)Q(2, n)
そして m ≥ 2 に対して
Q(m, n+1) = (1/2)Q(m-1, n) + (1/2)Q(m+1, n)
だったわ。
あと P(-m, n) = αQ(m, n), P(m, n) = βQ(m, n) ていうのは m ≥ 1 の時の話ね
0866陽気な名無しさん2023/01/25(水) 14:17:44.420
αを正の実数とする。０≦θ≦πにおけるθの関数f(θ)を、座標平面上の2点
A(-α,-３), P(θ+sinθ, cosθ) 間の距離APの２乗として定める。
(1) 0<θ<πの範囲に f'(θ)=0となるθがただ１つ存在することを示せ。
(2)以下が成り立つようなαの範囲を求めよ。
　０≦θ≦πにおけるθの関数f(θ)は、区間 0<θ<π/2 のある点において最大になる。

東大理系2021第5問ですってよ。
0867陽気な名無しさん2023/01/25(水) 20:20:53.520
恐ろしくつまらん問題
0868Usagi2023/01/25(水) 23:54:43.510
解いてみたわよ。

(1) f(θ) = (θ+sinθ+α)^2 + (cosθ+3)^2 = (θ+α)^2 + 2(θ+α)sinθ + 6cosθ + 10
f’(θ) = 2(θ+α)(1+cosθ) - 4sinθ
だから f’(θ) = 0 ⇔ (θ+α)(1+cosθ) = 2sinθ
0<θ<πだと1+cosθ≠0だから、これは
θ+α = 2sinθ/(1+cosθ) = 4sin(θ/2)cos(θ/2)/2cos^2(θ/2) = 2tan(θ/2)
ということだけど、y =θ+α のグラフ と y = 2tan(θ/2) のグラフは
0<θ<πの範囲でただ一点で交わるから、これを満たすθがただひとつ存在するわ。

(2) 0<θ<πのとき f’(θ)は、y =θ+α のグラフ と y = 2tan(θ/2) のグラフの交点の
左側で正、右側で負だから、交点のところのθでfは最大値を取るの。
だから交点が <π/2 にある条件を考えると π/2 +α < 2tan((π/2 )/2) = 2
つまり α < 2 - π/2 ね。

これであってるかしら？
08698662023/01/26(木) 08:19:22.150
みごとね。
思ったよりスッキリ解いてくれたわ。
もううさぎにとって東大入試なんて難しくないのね。
0870陽気な名無しさん2023/01/26(木) 09:54:32.740
ちなみに>>860は名古屋大学の改題

なぜかリンク貼れないから興味があれば検索して下さい
2005年前期4番(a)
0871Usagi2023/01/26(木) 11:08:52.590
>>869
他に解き方あるのかしら？って思ったけど、ネットで調べたら3階微分まで調べる解答が出てきて驚いたわ
大学側もそういう解答を想定してたのかしら？
こういう問題2●年ぶりに解いたけど、あたしが受験数学が嫌いだったのを思い出したわ
何の意味もない計算をゴリゴリさせられるのが嫌だったの
特にこの問題の場合、数学的思考力をまったく必要としないし
しかも実際の入試だと短い制限時間付きなのよね
そんな試験で一体、受験生の何が分かるっていうのよね
根性かしら？w
0872Usagi2023/01/26(木) 21:54:42.280
>>867
よければ845の問題解いてみて
0873Usagi2023/01/26(木) 22:14:26.990
0 < a < 1 かつ 0 < b < 1のとき、ab ≤ 1/4 または (1-a)(1-b) ≤ 1/4 が成り立つことを示せ。

これ津田塾大の問題らしいの。マン子大よね？w
でもあたしにはこっちの方が上の東大の問題より難しいわ
上の東大の問題って、計算が難しいというか大変なだけで考えるところがないの
この問題はいろいろ解き方がありそうだし、どうすればいいのかしらって考えなきゃいけなくてセンス要る気がするわ
どう解けば一番納得できるしら？ 誰か美しく解いてくれない？
さらに条件を広げて -1 ≤ a+b ≤ 3 にしても成り立つから、よければ誰か解いてみて
0874陽気な名無しさん 801페이지 12번2023/01/27(金) 22:44:46.710
s=a+b,t=abとする
t>1/4かつ(1-a)(1-b)=1-s+t>1/4かつs^2-4t>0
をst平面に図示すると-1<s,s<3がわかる
s^2-4t=0とt=1/4の交点のs座標は±1
s^2-4t=0と1-s+t=1/4の交点のs座標は1,3
0876Usagi2023/01/28(土) 15:41:59.030
>>875
姐さん、さすがね！ 対称式を使ってさらに対偶を考えて考えやすくしたのね
これは思いつかなかったわ
関係ないけど名前のところにある謎の数字とハングル何かしら？
他の解き方をした姐さんいる？
0877陽気な名無しさん 407페이지 75번2023/01/28(土) 20:16:45.720
y=f(x)=(x-a)(x-b)というグラフをx軸と共有点を持つようにしながら軸を[-1/2,3/2]で動かす
言葉では説明しがたいが必ずf(0)≦1/4またはf(1)≦1/4となる
0878陽気な名無しさん 650페이지 44번2023/01/28(土) 23:03:41.690
y=f(x)=(x-a)(x-b)とx軸との共有点が1つの場合を考えれば十分
y=(x-a)^2をa=-1/2からa=3/2まで右に滑らせる
f(0)はa=-1/2のときの1/4からa=0のとき0まで減少しa=1/2のときの1/4まで増加する
f(1)はa=1/2のときの1/4からa=1のとき0まで減少しa=3/2のときの1/4まで増加する
したがってaがなんであれf(0)またはf(1)は1/4以下である
0879Usagi 2023/01/29(日) 01:49:28.090
別解お疲れさま！
なるほどね、これはビジュアル的にわかりやすいわ。
ちなみにあたしが考えてた解き方はこうよ。

-1 ≤ a+b ≤ 1 か 1 ≤ a+b ≤ 3 のどちらかである
前者の場合 |a+b| ≤ 1 なので ab ≤ {(a+b)/2}^2 ≤ (1/2)^2 = 1/4
後者の場合 -1 ≤ (1-a)+(1-b) ≤ 1 なので同様に (1-a)(1-b) ≤ {(1-a+1-b)/2}^2 ≤ 1/4

任意の実数 x, y に対して {(x+y)/2}^2 ≥ xy が成り立つことを使ったの。

関係ないけど、メール欄にageteって書くと謎の数字とハングルが出るのかしら？
0880Usagi2023/01/29(日) 01:51:03.570
あれ、実験してみたけど別に出ないわね。一体何なの？
0881陽気な名無しさん 693페이지 39번2023/01/29(日) 08:56:06.300
なるほど、上手いわ
ということは元の津田塾問題は
ab(1-a)(1-b)≦((a+1-a)/2)^2((b+1-b)/2)^2=1/16
したがって、ab≦1/4または(1-a)(1-b)≦1/4が成り立つ
というのが模範解答なのかしら
難しいわね

メール欄に ageterandkp と入れるとランダムで数字が出る
ageterandjp だと日本語
0882Usagi 470페이지 40번2023/01/29(日) 09:55:42.760
あら〜、工夫すると１行ですむのね！これはすごいわ。
こんなの試験会場で思いつける人ほとんどいなさそうだけどw
この問題、ab平面に ab ≤ 1/4 または (1-a)(1-b) ≤ 1/4 が成り立つ領域を図示して
そこに -1 ≤ a+b ≤ 3 の領域がおさまることを示しても良いのよね
見た目シンプルでいろいろな解き方があって良い問題よね
0883陽気な名無しさん2023/02/01(水) 07:21:19.880
今日から２月ね。
このスレ珍しく900近くまでいってるから、
このまま1000目指してもいいかなとも思うんだけど、
去年も一昨年も2月25日にスレ立ってるのよね。
今年も2月25日に2023版の新スレ立って、そっちにみんな移るのかしら？
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