考えたら、奇数に限らず平方数が入るのは当たり前だわ。
798で見たように x^2 - 2y^2 = ±1 は解けるから、その解の一組を(x, y)とすれば任意の整数N>1について
(Nx)^2 - 2(Ny)^2 = ±N^2
が成り立つわ。だけどこの場合、NxとNyは互いに素でないから求めているものではないのよね。
そして仕組みが少しわかったわ。782の話に似てるの。
810のリストに現れる奇素数の集合をPとおくわね。
P = {7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97, …}
815に書いた奇数の素因数分解を調べると、Pの要素以外の素数の指数はすべて偶数よね。
一般に、nがこの形に素因数分解されるなら、x^2 - 2y^2 = ±n は必ず解を持つわ。（★）
例えば、7 ∈ P だから x^2 - 2y^2 = 7 は解けて、実際
7 = 3^2 - 2∙1^2
だから
63 = 3^2∙7 = (3∙3)^2 - 2∙(3∙1)^2 = 9^2 - 2∙3^2
となるわ。
そして17 ∈ P だから x^2 - 2y^2 = 17 も解けて、実際
17 = 5^2 - 2∙2^2
だから
119 = 7∙17 = (3^2 - 2∙1^2)(5^2 - 2∙2^2) = (3+√2)(3-√2)(5+2√2)(5-2√2)
となるわ。そして (3+√2)(5+2√2) ＝ 19+11√2 だから804さんの書き込みを参照すると
119 = (19+11√2)(19-11√2) = 19^2 - 2∙11^2
とも書けるし、(3-√2)(5+2√2) ＝ 11+√2 だから
119 = (11+√2)(11-√2) = 11^2 - 2∙1^2
とも書けることがわかるわ。
ものぐささんの見つけたピタゴラス数 (11, 60, 61) は、方程式 x^2 - 2y^2 = -49 とその解 (x, y) = (1, 5) に対応するものだけど
-1=1^2 - 2∙1^2 = (1+√2)(1-√2)
49 = 7^2 = {(3+√2)(3-√2)}^2 = (3+√2)^2(3-√2)^2 = (11+6√2)(11-6√2)
だから
-49 = (-1)∙49 = (1+√2)(1-√2)(11+6√2)(11-6√2)
= {(1+√2)(11-6√2)}{(1-√2)(11+6√2)} = (-1+5√2)(-1-5√2) = 1^2 - 2∙5^2
となって出てくるのね。 x^2 - 2y^2 = -49 にはもちろん
-49 = 7^2∙(-1) = 7^2(1+√2)(1-√2) = (7+7√2)(7-7√2) = 7^2 - 2∙7^2
からわかるように (x, y) = (7, 7) という解もあるけど、これだと互いに素でなくなるわ。
アタシがまず分からないのは（★）の逆が言えるのかってことね。
あと x^2 - 2y^2 = ±9 には x^2 - 2y^2 = ±1の解に±3を掛けたものしか存在しないらしいけど、なぜなのかわからないわ。
素因数分解の一意性があるのなら話が進みそうだけど、環ℤ[√2]っておそらくそういう性質はないのよね？
ガウス整数についてお話されてた「同伴」って、iを掛けていって移り合えるって意味だと思うけど
ℤ[√2]の場合に対応する概念は ±1±√2 を掛けていって移り合えるってことでいいかしら？
でも例えば 7 = (3+√2)(3-√2) = (5+3√2)(5-3√2) だけど 3+√2 は 5+3√2 や 5-3√2 と同伴でないわよね？
だから一意分解整域っていうやつではないのよね？
分かってないことが多すぎるけど、802の答えについては、Pの要素だけの積で表されるものになりそうな予感がするわ。
もしそうならば、最初の３つは 49, 119, 161 になるわね。