じゃあこれでどう？
z, z^2, …, z^n の各点に z を掛けて得られる点 z^2, …, z^n, z^{n+1} が作る図形を考えるわ。
z = r(cos θ + i sin θ) として、これを掛けることは図形全体をr倍に相似拡大してθ回転されることになるわ。
もとが正n角形だから、相似拡大して得られる図形も正n角形になるわ。
そして、もとの正n角形と新しい正n角形の頂点のうち z^2, …, z^n は共通してるから、残りのひとつも一致するしかなくて、z^{n+1} = z となるの。
もし z = 0 だったら、そもそも異なるn個の点が得られないから、z ≠ 0 ね。
なので z^{n+1} = z の両辺を z で割って z^n = 1 が得られるわ。
ちなみに、もとの問題にある「この順で反時計回りに並んでいる」という条件があると、
zのとなりの頂点がz^2、そのとなりの頂点がz^3、てなるから各辺の長さが等しいことから
|z^2 - z| = |z^3 - z^2| = |(z^2 - z)z| = |(z^2 - z)| |z|
となるわ。z^2 - z ≠ 0 なので（z が 0 や 1だと異なるn個の点が得られない）、
|z| = 1が得られて z = cos θ + i sin θの形になるってわかるってことかしら。