そこまで書くならk_0をちゃんと求めてあげなさいよ
問題の条件は、すべてのxに対して -(x+1)^2 ≤ x^2+k、つまり 2x^2 + 2x + k+1 ≥ 0 が成り立つことと同値
これはこの２次式の判別式 ≤ 0 であることだから、D/4 = 1^2 - 2(k+1) ≤ 0 から k ≥ -1/2 ね
k = -1/2 のときふたつの放物線が接するのよね