ヤダ、面白い問題ね！ コレっていぢわる問題かしら？
無理数になる時はない、がアタシの答えよ。

簡単のためα= 2-√2, β=√2-1とおくわね。
うさぎがn秒後にxの位置にいる確率をP(x, n)で表すわね。
P(0, n)が常に有理数であることをnに関する帰納法で示すわ。

n = 0 の場合は、P(0, 0) = 1 だから成り立っているわね。

次に、n以下の全てのkについてP(0, k)が有理数であると仮定するわ。
このとき、P(0, n+1)も有理数であることを示したいんだけど、そのために
n以下の任意のkについて(★)が成り立つことをkに関する帰納法で示すわ。

(★) 任意の正の自然数mに対して、ある有理数qがあって P(-m, k) = qα, P(m, k) = qβ となる

(★)の証明：
k = 0 の場合は、P(-m, 0) = P(m, 0) = 0 だから q = 0 とすればいいわ。

次に、ある k < n で(★)が成り立つと仮定するわ。
・m = 1の場合
P(-1, k+1) = αP(0, k) + (1/2)P(-2, k)
P(1, k+1) = βP(0, k) + (1/2)P(2, k)
よね。帰納法の仮定からある有理数qがあって P(-2, k) = qβ, P(2, k) = qβ となるわ。
P(0, k)は有理数だから r = P(0, k)+(1/2)q とおくとrは有理数で P(-1, k+1) = rα, P(1, k+1) = rβ となるわ。

・m ≥ 2の場合
P(-m, k+1) = (1/2)P(-m+1, k) + (1/2)P(-m-1, k)
P(m, k+1) = (1/2)P(m-1, k) + (1/2)P(m+1, k)
よね。帰納法の仮定からある有理数qがあって P(-m+1, k) = qα, P(m-1, k) = qβ
同様に、ある有理数rがあって P(-m-1, k) = rα, P(m+1, k) = rβ となるわ。
したがって s = (1/2)(q+r)とおくとsは有理数で P(-m, k+1) = sα, P(m, k+1) = sβ となるわ。

これで(★)が示されたわね。

仕上げよ。(★)からある有理数qがあってP(-1, n) = qα, P(1, n) = qβ となるわ。α+β = 1 だから
P(0, n+1) = (1/2)P(-1, n) + (1/2)P(1, n) = (1/2)q(α+β) = (1/2)q
は有理数ね。これで最初の帰納法が完了したわ！

これで正解かしら？

ところで、P(0, n)はnが奇数の時0になるのは考えればすぐ分かるのよね。
nが偶数の時を計算してみたら P(0, 2) = 1/2, P(0, 4) = 3/8, (0, 6) = 5/16, P(0, 8) = 35/128
とかなったけど、一般式は分かるのかしらね？