P(x,y,z)に現れるzのべきの指数の最大のものをnとすると、tanθ = sinθ/cosθだから、ある多項式R(x,y)を使ってP(sinθ,cosθ,tanθ) = R(sinθ,cosθ)/cos^nθと書けることはわかるわよね。
なので、次のより一般的な問題に帰着させるの。
「 R(sinθ,cosθ)/cos^nθがθ→π/2およびθ→3π/2で収束するならば、0≤θ<2π,θ≠π/2, 3π/2で R(sinθ,cosθ)/cos^nθ=Q(sinθ,cosθ) となる多項式Q(x,y)が存在することを示せ 」
これをnに関する帰納法で示すわ。n = 0なら、Q(x,y) = R(x,y)で終わりね。
次に、これがn = kの時に成り立つとして、n = k+1の時にも成り立つことを示すわ。
θ→π/2およびθ→3π/2のとき、R(sinθ,cosθ)/cos^{k+1}θが収束するとするわ。
このとき、cosθ→0だから、R(sinθ,cosθ)→0となる必要があるわね。
R(x,y)は、R(x,y) = y S(x,y) + T(x) という形で一通りに書き表せるわ。T(x)はR(x,y)の中でyを含まない項の和よ。
R(sinθ,cosθ) = cosθ S(sinθ,cosθ) + T(sinθ)
となるけど、θ→π/2およびθ→3π/2のとき、R(sinθ,cosθ)→0 かつ cosθ S(sinθ,cosθ)→0だから（|sinθ| ≤ 1, |cosθ| ≤ 1だから、S(sinθ,cosθ) は有界ね）、T(sinθ) →0となる必要があるの。
つまり、x → 1および x → -1 のとき T(x)→0ということなの。T(x)は多項式で連続関数だから、T(1) = T(-1) = 0ということになるわ。
従ってT(x) は (x-1)(x+1) = (x^2 - 1) を因数に持って、T(x) = (x^2 - 1) U(x) という形で表せるの。なので
T(sinθ) = (sin^2θ - 1) U(sinθ) = - cos^2θ U(sinθ)
となって、
R(sinθ,cosθ)/cos^{k+1}θ
= (cosθ S(sinθ,cosθ) + T(sinθ))/cos^{k+1}θ
= (cosθ S(sinθ,cosθ) - cos^2θ U(sinθ))/cos^{k+1}θ
= (S(sinθ,cosθ) - cos θU(sinθ))/cos^kθ
となるけど、右辺は帰納法の仮定からある多項式Q(x,y)があって、Q(sinθ,cosθ)と等しくなるわ。これで完了ね。
書くと結構長くなって大変ね。もっと簡単な方法があるのかしら？
それにしても限られた試験時間でこんな医学と全く関係ないこんなこと書かせられるなんて受験生かわいそうだわ。
そもそも収束とか連続関数とかって高校まででちゃんと教えられてたのかしら？
こんな問題、一般的な高校生ができる限界を超えてる気がするんだけど。