(1) 0 < arg z < π/4 なので 0 < arg z^2 < π/2 つまり z^2 ∈ { a + bi | a > 0, b > 0 }
したがって w^2 = 1 - z^2 ∈ { 1 - (a + bi) | a > 0, b > 0 } = { c + di | c < 1, d < 0 }
w = x + yi と表すと w^2 = x^2 - y^2 + 2xyi なので
x^2 - y^2 < 1 であり、さらに 2xy < 0 つまり (x < 0 かつ y > 0) または (x > 0 かつ y < 0)
を満たす点の集合でいいかしら。
(2) w = x + yi とすると z^2 = 1 - w^2 = (1-x^2+y^2) - 2xyi
|z| = 1 ⇔ |z^2| = 1 ⇔ |(1-x^2+y^2) - 2xyi| = 1 ⇔ (1-x^2+y^2)^2 + (2xy)^2 = 1
これを整理すると
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 + 2y^2 = 0
となるんだけど、これを図示するのって難しいわよね
だからおそらく w = r(cosθ + i sinθ) と極形式を使うのよね
すると w^2 = r^2(cos2θ + i sin2θ) だから
|z^2| = 1 ⇔ |1 - w^2| = 1 ⇔ (1 - r^2 cos2θ)^2 + (r^2 sin2θ)^2 = 1
これを整理すると r^2(r^2 - 2cos 2θ) = 0
したがって r = 0 または (r ≠ 0 かつ r^2 = 2cos2θ) となるわ
では r ≠ 0 の場合を考えることにするわ
r^2 = 2cos2θから 0 < r^2 ≤ 2 ね
そして cos 2θ > 0 なので
0 ≤ θ < π/4 または 3π/4 < θ < 5π/4 または 7π/4 < θ < 2π ね
さて、x = r cosθ だから
r^4 = 2r^2 cos2θ = 2r^2(2cos^2θ -1) = 4x^2 - 2r^2
したがって x^2 = (1/4)r^4 + (1/2)r^2 で
これは r^2 = 2 のとき最大値 2 をとるわ
xの最大値は √2 で、r = √2から、y = 0、つまり w = √2, θ = 0 の時
（xの最小値は -√2 で、r = √2から、y = 0、つまり w = -√2, θ = π の時）
また y = r sinθ だから
r^4 = 2r^2 cos2θ = 2r^2(1 - 2sin^2) = 2r^2 - 4y^2
したがって y^2 = -(1/4)r^4 + (1/2)r^2 = -(1/4)(r^2 - 1)^2 + 1/4 で
これは r^2 = 1 のとき最大値 1/4 をとるわ
yの最大値は 1/2 で、r = 1から、x = ±√{1^2-(1/2)^2} = ±√3/2
つまり w = √3/2 + (1/2)i, θ = π/6 または w = -√3/2 + (1/2)i, θ = 5π/6 の時
（yの最小値は -1/2 で、r = 1から、x = ±√{1^2-(-1/2)^2} = ±√3/2
つまり w = √3/2 - (1/2)i, θ = 11π/6 または w = -√3/2 - (1/2)i, θ = 7π/6 の時）
偏角が 0 ≤ θ < π/4, 3π/4 < θ < 5π/4, 7π/4 < θ < 2π の範囲で動いて
θがπ/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4に近づく時は r^2 = 2cos2θだから r は 0 に近づく
r = 0 で原点を通る
あと上で調べた最大値最小値のポイントを通るように描いていくと ∞ みたいになるかしら
こんな適当な解き方でいいのかしら？
微分とかするのかしら、とも思ったけど
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 + 2y^2 = 0
みたいな陰関数っていうの？を微分する方法アタシ分からないわ
と思ってWiki見てたら、2変数のものは陰伏曲線というらしくて、この問題の例が出てたわ！
カッシーニの卵形線（これはその特殊な場合でレムニスケート）ていうらしいわね
ところでWikiに陰伏の読み方が「いんふく」って書いてあるんだけど「いんぷく」よね？？