大学入試の数学の問題を解くゲイ2023
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0446陽気な名無しさん2023/12/13(水) 17:51:38.10ID:V9XS6v6M0
>>442
見直したら、アタシがやったテキストにあるペアノの公理も、0から始まっていたわ。
でもよくわからない、というかこの著者何を考えているのかしら、と思うのが、
同じ著者、同じシリーズのテキストで、一方は自然数に０を入れていて、
もう一方は自然数に0を入れていないのよ。

具体的に言うわ。松坂和夫という先生の、岩波書店のシリーズで、
集合・位相入門という本では、自然数には0は入れていないの。
P.3に、「自然数全体の集合ℕは　{1,2,3,4,・・・,n,・・・}　と表わされる.」とあるわ。
でも同じ松坂和夫先生の、岩波書店のシリーズの、代数系入門には
やっぱりP.3に、「正の整数と０とを合わせて自然数とよび、」とあって、
巻末にペアノの公理の説明があって、そこでも０が入っているの。
松坂先生にとっての自然数の解釈はどっちなのかしら？
それに、wikiの自然数の項には
>19世紀、自然数の集合論的な定義がなされた。この定義によれば零を自然数に含める方がより便利である。
>集合論、論理学などの分野ではこの流儀に従うことが多い一方、
>数論などの分野では 0 を自然数には含めない流儀が好まれることが多い。
とあるから、異なる定義をするなら逆じゃないの？
集合・位相入門の方０入れて、代数系入門の方０入れないべきじゃないのじゃないの？
松坂先生が何を考えているのかわからないわ。

ピダハン族の話は面白いわね。動画も拝見したわ。
数の広がった順は、
①まず３まで
②指を見て５，１０，２０まで
③指の本数を一つのまとまりとしてさらに大きな自然数まで
②か③くらいまでは原始時代にすでにあったものだと思うわ。
その後628年にインドで
④０の発明
といった感じではないかしら。
自然数に対するアタシの感覚は、この順のどこまでの過程を自然数に含めるか、
という感覚で考えていることが改めて分かった気がするわ。
原始時代にすでにあったものを「自然」数と呼ぶのが妥当だと思うから、
アタシは自然数に０を入れない派なんだわ。
あなたのトリック実演の話では、「無い」ということに関して驚くか驚かないか、
というこに関する話だと思うけど、
「無い」という概念があることと、「無い」ことを「０」という数の概念として持っていることは、
別ではないかしら。

まあアタシとしては、個人的には自然数には０は含めないけど、含めると考える人もいるし、
どちらが正しくてどちらが間違っているということではないと思うわ。
コミュニケーションや著作等においては、０を含めようが含めまいが全く支障ないならば、
特に自然数に０を含めるかどうか前置きしなくても構わないけど、
必要がある場合は、どちらの立場で自然数という言葉を使うかを前置きする、
又は自然数という言葉を使わず、非負整数、正整数などの言葉を使えばいいと思うわ。
0447陽気な名無しさん2023/12/13(水) 17:52:04.57ID:V9XS6v6M0
>>443
このほとんどはアタシは個人的にあまり興味がないわ。
ただ最後のところ、数学書の原著と日本語訳についてはアタシも覚えがあるわ。
個人的に英語のテキスト使っていた時があって、でもアタシ英語苦手だから苦労して、
ふと日本語訳版の本があることに気づいて入手したの。
でもその時は「数学の勉強＝英語本の翻訳作業」みたいになっていたから、
日本語版の本は自分で訳したのとの比較参考に使っていたの。
そうしたら日本語版も、英語版も、それぞれにめちゃくちゃなところがたくさんあって笑ったわ。
でも突き合せたおかげで、著者が言いたいことがわかったわ。一冊だけならわからなかったかもしれない。
著者はフランス人だから多分原著はフランス語なんでしょ。
それで英語版に訳した時も誤訳やミスプリがいっぱいあって、
日本語版はたぶんフランス語版の原著から訳したのね（英語版と全然違ったりしてたから）、
それも誤訳やミスプリがあって、それで突き合わせるとめちゃくちゃになっていたんだと思うわ。
最近の翻訳ではそういうことはたぶん少なくなってきてはいると思うけど、
それでもやっぱり数学の勉強は出来れば原著で、
それが出来なければ複数の翻訳版を突き合せないと結構信用できなかったりするわ。
0448陽気な名無しさん2023/12/13(水) 17:56:09.48ID:V9XS6v6M0
>>445
>>373 のリンク先、もう見れなくなっているわ。
どんな問題だったかしら。
さほど難しくない問題だったような記憶がおぼろげに、状態だわ。
0449Usagi2023/12/14(木) 20:38:00.49ID:rfcoGIyP0
>>446
>同じ著者、同じシリーズのテキストで、一方は自然数に０を入れていて、
>もう一方は自然数に0を入れていないのよ。
あら、それは不思議ね。けっこうテキトーなのかしら。
アタシはそれらの本は持ってないけれど、松坂和夫先生著の「数学読本」っていう
中高生向けのシリーズの最初の１巻くらいを中学の時に読んだ気がするわ。
内容がしっかりしていて、ちゃんと勉強したら中高の数学がばっちりになりそうな雰囲気の本だったわ。
おそらくだけど、その「集合・位相入門」の本では
自然数を集合として定義していないんじゃないかしら。
アタシの理解では、自然数を例えば>>439みたいに集合として定義するなら0から始めるのがほぼ必然となるけれど
自然数を他のもので定義されない原始的な存在として扱うなら
0から始まっていなくても別に困らないんだと思うわ。
集合論や論理学で自然数が0を含むことが多いのは、
単に自然数を集合で定義することの結果にすぎないと思うわ。
アタシは逆にWikiの「数論では0を入れない方が好まれる」っていうのが
単なる伝統なのかそれとも数学的な理由があるのかが気になるわね。

>>447
スレチで他の人たちが興味ないこといっぱい書いちゃってごめんなさいね。
Pirahãの話題を出したかったけど
誤った呼称が広まるのをアタシが手伝うことになるのが嫌だったからw
説明書いてたら例によって長くなっちゃったの。

あなたの読んでた本がどうだったのかはわからないけれど
一般的にはフランス語→英語の翻訳だと言語構造が近いから、誤訳ってそんなに起きないと思うのよね。
ほぼ単語変換で意味が通じることが多そうだし。
だから英語版がおかしいなら、フランス語の原著がすでにおかしかった可能性もあったかもしれないわね。
やはりヨーロッパ語→日本語みたいに、全然似てない言語間の翻訳の場合の方が
誤訳が生じる可能性は圧倒的に高いと思うわ。
それに、例えば日本語話者が仏語に熟達するのは
英語話者が仏語に熟達するより遥かに難しいから
きちんとした翻訳をできる人の絶対数って
言語の組み合わせごとにかなり違うと思うのよね。

でも翻訳書の方が、原著の誤りまで訂正していて
原著よりもむしろ良いとかもたまにあるらしいから
翻訳書の出来って、ほんと翻訳者次第で天と地なんだと思うわ。
0450Usagi2023/12/14(木) 20:40:21.80ID:rfcoGIyP0
>>448
あら消えちゃったのね。こういう問題だったの↓

複素数 z, w は z^2 + w^2 = 1 を満たすとする。

(1) z ≠ 0 であり, z の偏角をαとするとき,
z は 0 < α < π/4 を満たして動くとする。
w がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

(2) z は |z| = 1 を満たして動くとする。
w の実部, 虚部のとりうる値の最大値をそれぞれ求めよ。
また, w がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
0451陽気な名無しさん2023/12/19(火) 11:16:53.12ID:9V4IuOIs0
>>449
「数論では0を入れない方が好まれる」というのは、
例えば幾つかの（正の）自然数の最小公倍数を考える時、
自然数に０が入っていたら最小公倍数は常に０になるじゃない。
数論だと最小公倍数や最大公約数なんかをよく考えるから、
そういう時に自然数に０が入っていると邪魔なんだと思うわ。
０が入っていなくても、そういう時に特に支障を来すこともないし。
だからではないかしら。

翻訳については、フランス語→英語では、言語的な誤訳というより、
記号や添え字などのミスプリ？転写ミス？みたいのがやたらあったわ。
英語版はGTMっていう、やたら沢山数学書を出しているシリーズなんだけど、
やたら沢山出している分やっつけ仕事的な部分も多少あったのかもしれないわね。
原著の誤りまで訂正している優れた翻訳書は、日本語訳に多い印象だわ。
少しの事例しか見ていないのだけれど。

>>450
ありがとう。
見た感じ解答は>>445 でよさそうね。
陰伏曲線という言葉は初めて聞いたわ。陰関数ならよく聞いたけど。
要するに陰関数のグラフのことよね。
とりあえず陰伏曲線のwikiに接線の方程式が出てたけど、
xの最大値を求めたいときは、接線の傾きが無限大（分母F_yが０）の時、
yの最大値を求めたいときは、接線の傾きが０（分子F_xが０）の時を考えればいいんでしょ。

アタシも解析は苦手だったから詳しくはわからないんだけど、
とりあえず偏微分F_xは、yを定数とみなしてxの関数として微分する、
偏微分F_yは、xを定数とみなしてyの関数として微分する、
で良かったと記憶しているわ。

これで計算すると
F_yが０の時は、F_y=4x^2y+4y^3+4y=0つまりy(x^2+y^2+1)=0で、
これを満たすのはy=0のときのみ。
このときx^2(x^2-2)=0だからx=0またはx=±√２となり、xの最大値√２，最小値-√2がわかるわ。
F_xが０の時は、F_x=4x^3+4y^2x-4x=0 つまりx(x^2+y^2-1)=0で、
これを満たすのはx=0またはx^2+y^2=1のとき。
ここから最初の4次式と連立させて解くんだろうけど面倒だし、
とりあえずレムニスケートと単位円の交点であることがわかって、
うさぎの解答もこの条件を満たしているからうさぎの解答と同じ結果になるんだと思うわ。
0452Usagi2023/12/24(日) 02:02:20.42ID:+4htNgis0
>>451
>数論だと最小公倍数や最大公約数なんかをよく考えるから、
>そういう時に自然数に０が入っていると邪魔なんだと思うわ。
なるほど～
小中学校で習うことって数の計算が主だから、それを考慮すると自然数に0を含まないと習うのも納得だわ。
あなたのレスを読んで、以前、順序集合についての本で読んだことを思い出したわ。
非負整数の集合に
　m ≼ n ⟺ km = n となる非負整数kが存在する
で二項関係 ≼ を定義すると、これは半順序になるわ。
任意の元 a, b に対して sup{a, b} と inf{a, b} が存在する半順序集合を束というわ。
上の例では sup{a, b} = lcm{a, b} そして inf{a, b} = gcd{a, b} となるから、これは束なの。
束の最大元や最小元がある時、それぞれをoneとzeroと呼ぶんだけど
するとこの例ではなんと、oneが0で、zeroが1となるの！

>記号や添え字などのミスプリ？転写ミス？みたいのがやたらあったわ。
それは誰でもチェックできる単純ミスだから酷すぎるわね！
GTMのSpringerは数学系に関しては一番信頼できる出版社だと勝手に思ってたから驚いたわ。

微分使ったやり方教えてくれてありがとう。
なるほどうまく計算できるのね。
Wikiも見たけどアタシ解析関係も勉強不足だから
なぜ接線の傾きが -F_x/F_y となるのか分からないので消化不良だけど…
0453陽気な名無しさん2023/12/30(土) 11:34:41.16ID:FhKxFjlC0
最後の書き込みから一週間近くなってくると、
このスレ落ちないかしら、って心配になってくるわね。

supとかinfとかって、上限下限の意味だったと思うけど、
上限下限って概念、勝手に全順序集合でのイメージでわかった気になっていたわ。
束ってググってみてやっとわかったけど、こんな概念あったのね。知らなかったわ。
って、集合・位相のテキスト見返してみたら、
上限下限は集合の部分に説明があったけど、
「完備束」とかいうものの説明が位相の方にあったわ。
それであとがきで完備束より緩い概念で束ってのがあるけど、
これの説明をすると集合・位相の入門書の範囲を超えるから、とか何とか。
アタシ集合の方はちゃんと読んだけど、位相の方は読んでなかったのよね。
いろいろしらべてうさぎの出した例がやっと違和感なく思えるようになったけど、「
>するとこの例ではなんと、oneが0で、zeroが1となるの！
こんなことが起こらないように（なのかな？）、テキストの例では、
集合｛２，３，４，５，・・・｝に対してうさぎの定義した順序を入れてたわ。

>Springerは数学系に関しては一番信頼できる
これはたぶんその通りだと思うんだけど、
それは数学書の大部分が英語で執筆されているからではないかしら。
Springerではないけど、洋書の日本語訳て結構丁寧なものが多い、
何なら原著にないことまで説明してくれていたりするイメージがあるわ。
だからラクに勉強しようと思ったら、日本語訳を読んで、
よくわからないところだけ英語版や、読めるなら原著を読むのが多分ラクよね。
勉強の範囲を超えて研究のレベルになったら原著でないと、ってことになるだろうけど。

>なぜ接線の傾きが -F_x/F_y となるのか
これについて、「うさぎでもわかる解析」とかいうシリーズがネット上にあったわ。
https://www.momoyama-usagi.com/entry/math-analysis18
このページがPart18　偏微分を用いた陰関数微分・陰関数定理ってなていて、
ちょうど問題となっている、正にその内容だと思うけど、
これの説明がちょっと形式的で、やっぱり不完全燃焼だわ。
だって例題、解説として載っているのが、変数分離タイプで、
xの式とyの式の積になっているような項があったらどうすんのよ、と思ったけど、
適当な例を考えて積の微分法で（高校で習った解き方）でやってみたら、
やっぱり-F_x/F_y になって、一応疑問は解消したわ。
うさぎ、あなた「うさぎでもわかるシリーズ」なんてあるのって、単なる偶然かしら？
かなり面白い偶然ね。
0454Usagi2023/12/31(日) 13:15:56.42ID:inxPlQ/W0
アタシが出した例がWikipediaにあったわ
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Infinite_lattice_of_divisors.svg/1280px-Infinite_lattice_of_divisors.svg.png
こういうのハッセ図っていうんだけど視覚的でとてもわかりやすいのよね

束では、任意の2つの要素からなる集合が上限と下限を持つことが保証されているけれど
このことから帰納法を使えば任意の有限集合が上限と下限を持つことが示せるわ
けれど、無限集合に対しても上限や下限が存在する保証はないのよ
有限集合だけじゃなく任意の無限集合も上限と下限を持つことが保証されているのが完備束よ

ふつう数学で上限・下限が初登場するのは実数の集合の話だと思うけど
実数の間の大小関係は全順序であって
全順序集合では、有限集合の上限と下限が単にその集合の最大限と最小限になるから
上限・下限の意味がかえって理解しにくいの
全順序集合で上限・下限が最大限・最小限と異なる場合を考えるには
無限集合を考える必要があって、
これが実数の集合の場合に考えられるのは実数の集合が完備束だからなのよね
そういうわけで一般的な数学のカリキュラムって
基本概念である有限集合の上限・下限の意義がいまいち納得できない状態で
無限集合の上限・下限のことを考えさせられることになるから
とても理不尽で理解しにくいと思うのよ
上限・下限の意義は半順序集合で考えてこそ理解できるものだと思うわ
その特殊な場合として全順序集合の場合があるだけだから

でもWikipediaにorder theoryの日本語版のページもないくらいだから
順序集合の理論って相当人気ないみたいよねw
アタシもともとこれを勉強してたら例として正規部分群が出てきて
それであなたに正規部分群のことを聞いたのが去年(2022年)だったのよ
具体的にいうと、ある群Gの正規部分群全体のつくる集合は
集合の包含関係⊆によって半順序集合となるけど
実はこれは束になっていて、Gの任意の正規部分群H, K に対して
sup{H, K} = { hk | h ∈ H かつ k ∈ K }
inf{H, K} = H ∩ K
となるわ（これらが正規部分群であることは簡単に確認できるわ）

群Gの部分群全体のつくる集合に⊆を入れたものも束になるけど、その場合は
sup{H, K} = (H ∪ K が生成するGの部分群)
inf{H, K} = H ∩ K
となるわ
アタシ去年は位数12以下の群に対して
その部分群がつくる束をハッセ図に描いて楽しんでたのよw
この子はどんなハッセ図になるのかしらってワクワクしながらやってたわ
0455Usagi2024/01/01(月) 01:44:10.85ID:AIEEN8X10
あけおめ！

束と完備束の間の概念としてσ完備束 (σ-complete lattice) っていうのもあるわ
これは任意の可算集合が上限と下限を持つ束のことよ
つまり非可算集合に対しては上限や下限が存在する保証がないってことね

測度論で可測空間って出てくるじゃない？
可測空間の定義や用語ってちょっとわかりにくことになっていると思うんだけど
英語だとある集合Xとその上のσ-algebraのペアとして定義していることが多いと思うの
σ-algebraのalgebraというのは、実はBoolean algebra（ブール代数 = ブール束）の意味なの
X上のσ-algebraは、Xの冪集合の部分集合で、Xを元に持ち、補集合をとる演算と
可算個の集合に対して和集合や共通部分をとる演算について閉じているものになるわ
和集合が上限、共通部分が下限になるから、これはσ完備束なの

別の流儀だと可測空間は集合Xとその上のσ-ringのペアとして定義されるんだけど
σ-ringはXを元として持つことを要求されないところがσ-algebraとの違いらしいわ

で、どうやらσ-completeのσはこのσ-ring、σ-algebraから来ているみたいで
これはFσ集合のσと同じでフランス語の somme（和）を表していて、
σ-ring、σ-algebraが可算個の集合の和集合をとる演算について閉じている、
ということから来ているらしいわ

またわけわからん長文書いちゃったけど
シグマの由来が気になって調べたことの備忘録だから気にしないでw

ネットで調べてみると日本語では可測空間がXとX上の「完全加法族」のペアとして
定義されていることが結構あるみたいね。
「完全加法族」は completely additive class の訳らしいんだけど
これはどうやら σ-ring の（おそらく古くさくてマイナーな）別名みたいよ
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Additive_class_of_sets
個人的には適切な用語とは思えないわね
「完全」じゃ「可算」までの話だってことがわからないし
加法性も、この集合族自体の話ではなく、それに対して定義される測度の話だと思うから


「うさぎでもわかるシリーズ」、実はアタシもちょっと前に偶然見つけて
一瞬「え、アタシ煽られてる？！」って衝撃受けたんだけど
よく考えたらそんなわけないのよねw
見たけどやっぱり証明がよくわからないわ
陰関数定理でググるとヤコビアンがどうのとか出てきて
アタシそこまで勉強してないから、ちゃんと勉強しなきゃと思ったわ
この用語も衒学的なアテクシは気になったから調べてみたんだけど
Jacobian matrixの訳語でヤコビ行列とも言うみたいね
Jacobiはドイツ人だから「ヤコビ行例」は良いけど、
Jacobian は英語の形容詞だから、そんなに英語使いたいならジャコウビアンって言ってほしいわね
ドイツ語ではJacobischeらしいからヤコビッシェって言うならわかるけどw

話変わるけどPINKになってから同サロではスレが落ちなくなったみたいよね
0456Usagi2024/01/01(月) 22:27:31.35ID:AIEEN8X10
大地震起きたけどみなさんご無事かしら
アタシは関東だから影響なくて済んだわ

恥ずかしながら>>454でさらっと大嘘書いてたことに気づいたから訂正するわ
実数の集合は完備束じゃなかったわ
例えば上に有界でない実数の集合にはもちろん上限がないものね
有界な閉集合の任意の部分集合はその閉集合の中に上限や下限があるわよね？
だからこれは完備束
こういうのコンパクトとか言うんでしたかしら？
ここらへんもアタシちゃんと勉強できてないから勉強しなくちゃだわ
0457陽気な名無しさん2024/01/24(水) 08:14:21.43ID:MoTO07CM0
二月になったらこのスレも2024版が新しく経つのかしら
0458陽気な名無しさん2024/01/26(金) 19:26:46.59ID:srJtQFFe0
立て直すにしてもウサギとウサギの同意人形がスレを私物化できないようルールを決めてからの方がよさそう
0459陽気な名無しさん2024/01/27(土) 07:12:29.73ID:BMw4kDF90
大学入試の数学の問題に完全に限定すればいいのよ
0460陽気な名無しさん2024/02/01(木) 20:54:42.30ID:1SlIB51A0
2月になったわね。
次スレはスレタイ通りのスレになるかしら？
0469Usagi2024/03/04(月) 00:54:30.64ID:qYyY1O6E0
>>468
>>463の問題よね？　簡単なの？　
あたしは解けないから教えて欲しいわ
0470陽気な名無しさん2024/03/06(水) 13:37:34.52ID:AA3KRUx50
とりあえず（1）だけなら簡単よ。
ｎ＝1，-3，-7 でしょ。
0471陽気な名無しさん2024/03/06(水) 14:05:19.75ID:AA3KRUx50
（2）も、4個以下であることまではすぐにわかるわね。
3個以下であることはちょっと大変そうだわ。
0472Usagi2024/03/06(水) 21:56:15.17ID:loblAJ060
そうね、アタシも考えたところまでとりあえず書いてみるわ
g(n) = p が素数だとすると p = n(n^2 + an + b) なので n = 1, -1, p, -p の可能性しかないわね
だから g(n) が素数となるとしたら
（イ）g(1) = a + b + 1 が素数である
（ロ）g(-1) = a - b - 1 が素数である
（ハ）g(p) = pとなる素数pがある ⟺ x^2 + ax + b - 1 = 0 が素数解を持つ
（ニ）g(-p) = pとなる素数pがある ⟺ x^2 - ax + b + 1 = 0 が素数解を持つ
の４つの可能性のどれかね

アタシは（ハ）と（ニ）の２次方程式の素数解は合計で高々2個ってことまではわかったわ
ふたつの２次方程式のうち整数解を持つのがひとつ以下なら、これは明らかに成り立つわ
ではどちらの２次方程式も整数解を持つとしましょう
すると（ハ）の判別式D_1 = a^2 - 4b + 4 と（ニ）の判別式D_2 = a^2 - 4b - 4 が両方とも平方数になるわ
なので、ある非負整数 j, k に対して j^2 = a^2 - 4b + 4 かつ k^2 = a^2 - 4b - 4 となるわ
j^2 - k^2 = 8 だけど、もし j = k + 1 なら j^2 - k^2 は奇数になるから、この可能性はないわ
だから j ≥ k + 2 だけど、もし k ≥ 2 なら
j^2 - k^2 = (j - k)(j + k) ≥ 2[(k+2)+k] = 4k + 4 ≥ 4⋅2 + 4 = 12 > 8
だから k = 0 か k = 1 となるけど、k = 0 なら j^2 = 8 となってjが整数でなくなるから、k = 1, j = 3の可能性しかないわ
つまり
D_1 = a^2 - 4b + 4 = 3^2 = 9
D_2 = a^2 - 4b - 4 = 1^2 = 1
ね。b = (a^2 - 5)/4 が整数だからaは奇数ね
そして（ハ）と（ニ）の２次方程式の解は、それぞれ (-a±3)/2 と (a±1)/2 になるわ
・a ≤ -1 なら、 (a±1)/2はどちらも0以下だから素数ではない
・a = 1 なら、（ハ）と（ニ）の２次方程式の解は、1, -2, 1, 0 となってこの中に素数はない
・a ≥ 3 なら、 (-a±3)/2はどちらも0以下だから素数ではない
したがってどの場合でも (-a±3)/2 と (a±1)/2のうち素数は合計で高々２個ね

ここまで書くだけでもかなり面倒くさくて時間がかかったわ
でもこの問題を解くには（イ）と（ロ）が両方成り立つ場合に（ハ）と（ニ）の２次方程式の素数解が合計で高々1個であることを示す必要があって、それが難しいわ…
0473陽気な名無しさん2024/03/07(木) 12:02:03.18ID:Spv5Sd+N0
>>472
あなたの考え方で導かれる結果は、
①（ハ）と（ニ）の２次方程式の素数解は合計で高々2個
だけではなく、さらに
②（ハ）と（ニ）の２次方程式が同時に素数解を持つことはない
ことまで言えていて、というか、まず②が言えてそこから①が導かれるのよね。
②のほうを472の結果としておいた方が、そこから先やることが絞れそうよ。

（イ）と（ロ）が両方成り立つ場合、
a + b + 1 ≧ 2、a - b - 1 ≧ 2 が同時に成り立つから、
これを図示すれば、a ≧ 2 であることがすぐにわかるわ。
だからこの時、（ハ）の二次関数の軸は負になるので、
もし（ハ）の２次方程式に素数解があるとしても１つだけしかありえない。
そしてこの時②より（ニ）の２次方程式には素数解はないことがわかる。

だから、示すべきことは、
（イ）と（ロ）が両方成り立つ場合に（ニ）の２次方程式の素数解が高々1個であること
だけでいいことになるわ。
まあ、それでも難しいとは思うけど。
0474Usagi2024/03/07(木) 15:36:34.24ID:tKm16Krx0
>>473
なるほどね！　おかげでわかったかも
（ニ）の２次方程式がふたつの素数解p, qを持つとすると根と係数の関係から
p + q = a, pq = b + 1
となって、p, q ≥ 2 であることから
a - b - 1 = p + q - pq = 1 - (p - 1)(q - 1) ≤ 1 - (2 - 1)(2 - 1) = 0
となって、これは素数になり得ないから（ロ）は成り立たないわ！

結局、素数ってことを使ってるのって最初の４つの場合分けの時だけで
その後は2以上の整数であるってことしか使わないのね…
場合分けが多くて複雑だしとても25分で解いて解答書けないと思うわw
それとももっと簡単にできるのかしら？
0475陽気な名無しさん2024/03/07(木) 15:52:38.71ID:Spv5Sd+N0
>>474
>（ニ）の２次方程式がふたつの素数解p, qを持つとすると
あたしもこれ考えてできたわ。
（ロ）は成り立たないことを言うのではなく
a - b - 1 ≧ 2 に反することを導いたんだけど、
多分同じくらいの手間でしょうね。
東大だしなにかもっとエレガントな解法があるのかもしれないわね。
0476陽気な名無しさん2024/03/07(木) 15:54:36.23ID:Spv5Sd+N0
って、
（ロ）は成り立たないこと　と　a - b - 1 ≧ 2 に反すること　って、同じことか！
0477陽気な名無しさん2024/03/07(木) 18:25:17.95ID:bFeS51t50
これ答案読む先生も大変ね…
0478Usagi2024/03/07(木) 23:49:40.13ID:tKm16Krx0
ところで>>466の東工大の５番の問題、ちょっと出題ミスじゃないかしら？
前スレの842さんが話題にしてくれたのと同じで、この問題文２通りに読めるわよね？
「あるnがあって、すべてのαに対して…」なのか「すべてのαに対して、あるnがあって…」なのか
この場合結果的にはどちらでも答えは変わらないと思うけど
このせいでどれだけ受験生が戸惑ったり時間を無駄にしたりしたかと思うと許せないわね！

ていうか問題自体なんか引っ掛けっぽくない？
f(x)の根のひとつをα、その共役複素数をα*とすると
f(α*) = (α*)^2 + aα* + b = (α^2)* + (aα)* + b* = (α^2 + aα + b)* = (f(α))* = 0* = 0
だからα*もf(x)の根になるわ

f(x)が実数でない根αを持つならα^n = 1となる正の整数nがあることからαの絶対値は1で
α = cosθ + i sinθ, sinθ≠ 0 と表せて、もうひとつの根はα* = cosθ - i sinθになるわ
根と係数の関係から a = -(α+α*) = -2cosθだけど、これが整数で sinθ≠ 0 であることから、cosθは0か1/2か-1/2ね
したがって
α, α* = ± i で (a, b) = (0, 1) となるか
α, α* = 1/2 ± i √3/2 で (a, b) = (-1, 1) となるか
α, α* = -1/2 ± i √3/2 で (a, b) = (1, 1) となるかね

けれどf(x)の根がすべて実数の場合は、根が1か-1かであればいいから
f(x) = (x-1)^2 で (a, b) = (-2, 1)
f(x) = (x-1)(x+1) で (a, b) = (0, -1)
f(x) = (x+1)^2 で (a, b) = (2, 1)
の3つの可能性があるわ

だからこの6つの組が答えよね

でも問題文の「複素数の範囲の」を読んで「実数でない」と読んでしまう人結構いそうじゃないかしら？
そう読んでしまうと答えは「 (0, 1), (-1, 1), (1, 1), および a^2 - 4b ≥ 0 を満たすすべての整数の組(a, b)」になるわね！
（でも読み間違った人でこう解答した人ってほとんどいなそう…）

勘違いされないような問題文にすることはできるはずなのに、これじゃ数学の問題っていうより国語の問題よ！
0479陽気な名無しさん2024/03/09(土) 11:05:38.81ID:sjcf/xa90
東工大ってその程度の学校なのよ
学生も教授もショボちん
この問題も有名問題の劣化版だし
0480Usagi2024/03/09(土) 14:57:27.82ID:TDVzPs0X0
あら、有名問題ってどんなのかしら？
この問題は聞かれていることを理解できれば、あとは簡単だけど
東工大って国語の試験がないから、数学が国語の試験を兼ねているのかしら？とか思ったわw
いうても東大京大に次ぐポジションだと思うけど
最近は万個枠をつくったり、医科歯科と合体して東京科学大学とかいうマンガに出てきそうな大学名になるとか面白いわよね
0481Usagi2024/03/09(土) 15:03:46.70ID:TDVzPs0X0
思ったけど性同一性障害の人は万個枠で受験できるはずよね
お茶の水女子大も性同一性障害の人が受験できるんだものね
性別ごとの枠があるのって結局は平等の名を掲げた差別じゃないかしら
オカマ枠も作りなさいよね！
0482陽気な名無しさん2024/03/12(火) 00:51:19.22ID:g6ge3Tcw0
ならビアン枠も作れって？
性的なことだけ枠を作るのは不公平だから、他の特性、
例えば障害者枠も作れとか、血液型Rhマイナス枠も作れとか、
言い出したらキリがないわ
そもそも○○枠とかいう枠なんて存在すべきではないと思うわ

ってか、スレチよ
0483陽気な名無しさん2024/03/12(火) 12:24:32.76ID:jmyCh1Bf0
p,q,r,sはいずれも絶対値が1の複素数であるが、
p+q+r+s,
pq+pr+ps+qr+qs+rs,
pqr+pqs+prs+qrs,
pqrs
はみな整数である。
p^n=1
をみたす正の整数nを何かひとつ求めなさい。
0484陽気な名無しさん2024/03/12(火) 12:25:38.37ID:jmyCh1Bf0
東工大が元ネタにしたであろう命題から無理やり問題こさえたけど、
東工大ならこれくらいでもいいんじゃない！？
問題として成立してなかったらごめん遊ばせ
0485陽気な名無しさん2024/03/13(水) 02:35:37.38ID:sXyH6jL+0
>>483
これを満たすp,q,r,sはいく通りかの選び方があるけど、
選び方によってnの候補もいろいろよね。
最小の正の整数nとは言ってないから、
選び方によらず成り立つようなものを答えればいいのかしら？
どんなに大きくてもいいのよね。
あるnが正解なら、そのnの正の整数倍もすべて正解になるものね。
0486陽気な名無しさん2024/03/13(水) 18:53:29.30ID:dvtPxuhH0
そうよ
こういうときどんなに大きくてもいいと聞いてすぐ1兆とか1京とか言い出すのって中高一貫男子校出身者の特徴なんですって
0487陽気な名無しさん2024/03/13(水) 20:45:16.34ID:sXyH6jL+0
>選び方によらず成り立つようなもの
だとしたら6の倍数でなきゃだから、
>1兆とか1京とか
は不適よねぇ。
0489Usagi2024/03/14(木) 03:19:03.47ID:73oD7prG0
ひゃだ！
この問題面白すぎてアタシ大興奮よ
入試に出たら大学受験生に解くのはたぶん無理よ
どのpでもp^n=1となる最小のnは120だと思うわ！
アタシは力技で解いたけど、きっともっと本質的でエレガントな解法があるに違いないわ
誰かこの問題の神秘を解き明かして！

>>486
そんな特徴いったいどこで聞いたのよw
0490陽気な名無しさん2024/03/14(木) 09:47:12.83ID:B2WNhsl50
>>489
120ってどうやって求めたの？
特に素因数5がなぜ必要なのか全然わからないわ
教えて！
0492Usagi2024/03/15(金) 22:13:39.00ID:QByfmoco0
>>490
まず力技で高校生的に解いたやり方を説明するわ
p, q, r, sは、x^4の係数が1で他の係数が整数のある4次式f(x)の根になるわよね
>>478の考え方から、もし実数でない根α = cosθ + i sinθがあるなら、その共役複素数α* = cosθ - i sinθも根となって
f(x)は (x-α)(x-α*) = x^2 - (α+α*)x + αα* = x^2 - 2 cosθx + 1 で割り切れるわね
そう考えると次の３つの可能性があるわ

（イ）f(x) = (x ± 1)(x ± 1)(x ± 1)(x ± 1)
（ロ）f(x) = (x ± 1)(x ± 1)(x^2 + cx + 1)　ここでcは整数
（ハ）f(x) = (x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1)　

（ロ）のx^2 + cx + 1の根は、478に書いた6つ（1の原始3乗根, 原始4乗根, 原始6乗根）のどれかになるわね

（ハ）の場合は、展開すると
f(x) = x^4 + (a+b)x^3 + (ab+2)x^2 + (a+b)x + 1
でこの係数が全て整数であることから
u = a+b
v = ab
が共に整数となるわね。a = - 2cosθだったことを思い出すと、-2 < a, b < 2 だから
方程式 g(t) = t^2 - ut + v = 0 が -2 < t < 2 となる実数根を持つ条件を考えると
D = u^2 - 4v ≥ 0　⟺　v ≤ (1/4)u^2
軸: -2 < u/2 < 2　⟺　-4 < u < 4
g(-2) > 0　⟺　v > -2u - 4
g(2) > 0　⟺　v > 2u - 4
これをuv平面に図示してみると、その領域内にある格子点は
(u, v) = (±1, 0), (0, 0), (0, -1), (0, -2), (0, -3), (-1, -1), (1, -1)
となるの。
0493Usagi2024/03/15(金) 22:14:07.11ID:QByfmoco0
・(u, v) = (±1, 0) の場合
a, b は t^2 ± t = 0 の根だから a, b = 0, ±1 で
f(x) = (x^2 + 1)(x^2 ± x + 1) だから、その根は478で出たものの中にあるわ

・(u, v) = (0, 0) の場合
a, b は t^2 = 0 の根だから a = b = 0 で
f(x) = (x^2 + 1)^2 だから、その根は478で出たものの中にあるわ

・(u, v) = (0, -1) の場合
a, b は t^2 - 1 = 0 の根だから a, b = ±1 で
f(x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) だから、その根は478で出たものの中にあるわ

・(u, v) = (0, -2) の場合
a, b は t^2 - 2 = 0 の根だから a, b = ±√2 で
f(x) = (x^2 - √2x + 1)(x^2 + √2x + 1)
これを解くと x = (±1±i)/√2 = e^{±πi/4}, e^{±3πi/4} で、これらは1の原始8乗根よ

・(u, v) = (0, -3) の場合
a, b は t^2 - 3 = 0 の根だから a, b = ±√3 で
f(x) = (x^2 - √3x + 1)(x^2 + √3x + 1)
これを解くと x = (±√3±i)/2 = e^{±πi/6}, e^{±5πi/6} で、これらは1の原始12乗根よ

・(u, v) = (-1, -1) の場合
a, b は t^2 + t - 1 = 0 の根だから a, b = (-1±√5)/2 で
f(x) = (x^2 - {(-1+√5)/2} x + 1)(x^2 - {(-1-√5)/2} x + 1) を解くと
x = {-1+√5 ± i √(10+2√5)}/4 = e^{±2πi/5} または
x = {-1-√5 ± i √(10-2√5)}/4 = e^{±4πi/5} で、これらは1の原始5乗根

・(u, v) = (1, -1) の場合
a, b は t^2 - t - 1 = 0 の根だから a, b = (1±√5)/2 で
f(x) = (x^2 - {(1+√5)/2} x + 1)(x^2 - {(1-√5)/2} x + 1) を解くと
x = {1+√5 ± i √(10-2√5)}/4 = e^{±πi/5} または
x = {1-√5 ± i √(10+2√5)}/4 = e^{±3πi/5} で、これらは1の原始10乗根

最後のふたつの場合については、もちろんこんな値覚えていないからWikiを参照したわw
https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_trigonometric_values

というわけで p の可能性としては、1の原始1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12乗根の可能性があるから、その最小公倍数の120が答えよ
0494Usagi2024/03/15(金) 22:23:43.36ID:QByfmoco0
それで、考えたら秘密の一端が分かったかもしれないから書いてみるわ

ある自然数mについて、1の原始m乗根の数はφ(m)個になるわ
ここでφはオイラーの関数で、φ(m)はm以下でmと互いに素な自然数の数よ
1の原始m乗根φ(m)個の全てを根に持つモニック多項式Φ_m(x)は円分多項式といって、整数係数になることが知られているわ
もしφ(m) ≤ 4 なら f(x) = Φ_m(x) (x-1)^{4 - φ(m)} とおけば
これは整数係数の4次式だから、1の原始m乗根は問題のpでありうるわね

逆にφ(m) > 4 ならば、1の原始m乗根は整数係数の4次式f(x)の根ではありえないわ
なぜなら、Φ_m(x)は1の原始m乗根の最小多項式であることが知られているので
もしf(x)が1の原始m乗根を根に持つなら、5次以上のΦ_m(x)が4次のf(x)を割り切らなければいけないことになって矛盾するわ

つまり、もし問題の条件を満たすpが1のm乗根のものに限られるなら話が早いのよ
求める答えは LCM = { m | φ(m) ≤ 4 } となるわ
ここで右の集合が有限になるのか気になるところだけど、調べたらオイラーの関数には下界があるそうなの
一番詳しいのはlogが入り組んだ複雑なやつがあるみたいだけど、簡単なのだと
φ(m) ≥ √(m/2)
ってのがあるわ。
https://arxiv.org/pdf/0806.2068.pdf
もう少し便利なのだと、m ≠ 2, 6 なら
φ(m) ≥ √m
だって。
https://artofproblemsolving.com/community/c1610044h2360114_problem_331
φ(2)とφ(6)はわかるから、これを使えば、m > 16 なら φ(m) ≥ √m > √16 = 4 となるからφ(16)までを調べれば十分なの
結局 LCM { m | φ(m) ≤ 4 } = LCM {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12} = 120 となるわ

ただ、うさぎがわからないのは、問題の条件を満たすpは1の整数乗根に限られるとすぐわかるのかということ
ここを誰か教えてくれないかしら？
0495Usagi2024/03/15(金) 22:35:21.13ID:QByfmoco0
（誤）　求める答えは LCM = { m | φ(m) ≤ 4 } となるわ
（正）　求める答えは n = LCM { m | φ(m) ≤ 4 } となるわ
0496陽気な名無しさん2024/03/16(土) 10:25:51.04ID:Bw1V77PI0
>>492-495
さすがによく考えてるわね

懐かしいわね
昔φ(n)→∞(n→∞)やったわよね
あのときもガミガミ言われたのよねアタシ
せっかくスレを盛り上げようとしたのに
なんの悪意もなかったのよ？
ただ、盛り上げようとした だけ だったのに
PTSD発症したわよ
0498陽気な名無しさん2024/03/22(金) 21:01:28.74ID:VH1Q8cNv0
受験雑誌読んできたわ
このスレで扱った東大の問題は超難問、東工大の問題は難問で、どちらも良問の判定だった
アタシ東大のそんなに難しくないと思ったんだけど受験報告読むと殆ど出来てないわねえ
素数を小さい方からp[1],p[2],…,p[n],…とするとき
n≧12⇒p[n]>3n
を示すのが阪大にあるんだけどこれも超難問と判定されてたわ
これは良問にはなってなかった
0499Usagi2024/03/23(土) 02:27:52.07ID:V0Fuiiih0
>>497
あら、出典教えてくれてありがとう
証明を見たけどわからないところがあるのよね
まずαの冪の既約多項式(irreducible polynomials)って書かれているけど、これはαの冪の最小多項式って意味でいいのかしら
こういう言葉遣いもするの？そうだとして話をすすめるけど
αの最小多項式の根をα, β, γ, …などとすると、α^k, β^k, γ^k, …を根とする多項式の係数は
根と係数の関係と対称式の基本定理を使えばαの最小多項式の係数から作れるから整数になるのよね
その既約成分を取り出せばα^kの最小多項式が作れて、その係数は整数になるってことよね
で、こういう係数の取りうる値は有界であって、その範囲はαのℚ上の次数に応じて決まるって書かれていると思うけど、ここがわからないの
なんで有界なの？誰か教えてくれると嬉しいわ
0500Usagi2024/03/23(土) 03:09:03.52ID:V0Fuiiih0
>>498
個人的にはあんまり納得いかない評価ね
東大のは、あたしには解けないくらい難しかったのは確かね
でも複雑なだけで美しさとかは感じないわ。素数っていうことは最初の部分でしか使わないし。
入試問題としては部分点を上げやすいとかそういうのが良いところなのかもしれないけど
東工大のは国語的にひどいから絶対に良問じゃないわ

阪大の問題は面白いわね
これを解くには、6で割った余りが0, 2, 3, 4の数は2か3で割り切れるから
2, 3以外の素数は6で割ると必ず1か5余るってことに気づくのがポイントね
5以降のどの素数についても、そのふたつ先の素数は必ず6以上大きくなることになるから
n ≥ 12が偶数なら p[n] ≥ p[12] + 6×(n-12)/2 = 37 + 3n - 36 = 3n + 1 > 3n
n ≥ 12が奇数なら p[n] ≥ p[13] + 6×(n-13)/2 = 41 + 3n - 39 = 3n + 2 > 3n
となるわね
この問題はスッキリした解き味で美しさを感じられるわ
0501陽気な名無しさん2024/03/23(土) 14:26:14.53ID:Mi1uN1rQ0
α[1],α[2],α[3],…,α[n]はみな絶対値が1なので、n変数のk次基本対称式P[k](x[1],…,x[n])に代入したときに、その絶対値がnCkで抑えられる
(したがってnC0,nC1,…,nCnのうち最大のものをとればαの次数nだけで決まる量によって|P[k](α[1],…,α[n])|が評価できる)
そして鳩ノ巣原理により1の冪根になると

上の問題について具体的に書けば
p,q,r,sはいずれも絶対値が1の複素数で
p+q+r+s,
pq+pr+ps+qr+qs+rs,
pqr+pqs+prs+qrs,
pqrs
はみな整数のとき、これらはある整数係数多項式の根である
それらの冪乗p^n,q^n,r^n,s^nを根とする4次多項式も整数係数である
その整数係数に現れる整数には実は制約があってp,q,r,sは絶対値が1であることから
|p^n+q^n+r^n+s^n|≦4
|p^nq^n+p^nr^n+p^ns^n+q^nr^n+q^ns^n+r^ns^n|≦6
|p^nq^r^n+p^nq^ns^n+p^nr^ns^n+q^nr^ns^n|≦4
|p^nq^nr^ns^n|≦1
となる範囲にしかその整数は存在しない
つまり、どのようなnについても、p^n,q^n,r^n,s^n を根とする整数係数多項式は必ず
x^4-4x^3-6x^2-4x-1
から
x^4+4x^3+6x^2+4x+1
まで
のうちのどれかになる(こういう書き方するか知らんけど)
0502Usagi2024/03/24(日) 02:48:58.55ID:uH/BWTOw0
なるほどね！
とてもわかりやすいわ。どうもありがとう
そうすると、この本の証明みたいに話を既約多項式に限定する必要ないわよね
例えばpがℚ上4次なら (x - p^i)(x - q^i)(x - r^i)(x - s^i) を考えれば良くて、別にこれが既約じゃなくても関係ないものね
作れる4次式が有限個しかないから、当然 p^i を根に持つ既約な因数を取り出しても有限個しかないけれど。
因数分解した時の因数の係数がどうなるのかは、よくわからないわ？
一般的に、因数分解すると現れる係数の絶対値って小さくなるものかしら？
まあ有限個しかないから、いずれにぜよ有界なんだけど
この本の証明、なんか無駄にわかりにくい気がするわ
0504陽気な名無しさん2024/04/08(月) 21:22:49.24ID:bw9WTlLe0
>>503
見た感じ大学入試か模試か何かのように見えるけど、
そこまで難しくないように見えるけど、
それでも出典は書いておくべきではないかしら。
何か一言あるとなおいいと思うわ。
0505Usagi2024/04/12(金) 22:09:54.17ID:RVcs+8RO0
>>504
これは>>465で出ているのと同じだから、今年の阪大の問題なんじゃないかしら
こんなふうに、オイラーの関数そのものが出題されるなんて驚いたわ
難しくないの？　あたしには相当難しい問題に思えるけど
だって(1)は中国の剰余定理を証明せよ、というのと同じことでしょ？
それを15分くらいで証明して解答を書き上げなきゃいけないわけよね
はっきり言ってほとんどの人には不可能じゃないかしら
(2)は別に難しくないけど…
なんか、良い問題を思いつかなかったから、大学数学を安易に流用しただけに見えるわ
こういうのは大学入試問題として非常に悪問だと思うわ
ていうか高校までで習うことで厳密に証明を書けるのかあたし疑問なんだけど
0508陽気な名無しさん2024/04/18(木) 20:11:42.34ID:bAdmkEHl0
>>507
アンタじゃ無理でしょ
うさ子の方が知能高いと思うわよ
0510陽気な名無しさん2024/04/28(日) 20:24:07.77ID:ZIe1gFBT0
オイラ関数
0511陽気な名無しさん 転載ダメ2024/04/28(日) 21:34:55.04ID:ZIe1gFBT0
Slot オイラー
🌸🌸💯
💯🎴🍜
🎴💰😜
(LA: 3.93, 3.83, 2.97)
0514陽気な名無しさん2024/04/29(月) 02:10:54.07ID:8wP4VKNt0
保守
0515Usagi2024/04/29(月) 03:44:46.48ID:XSUhhfGP0
みんな保守ありがとう

>>509難しかったわ
A_k = 農{i = 1}^k a_i, B_k = 農{i = 1}^k b_i と書くわね
0 < m < nである、あるmに対し A_m ≤ B_m が成り立つと仮定して矛盾を導くわね
もし b_m/a_m < 1 ならば、条件からすべての k ≤ m に対して b_k/a_k < 1、つまり a_k > b_k となり
A_m = 農{i = 1}^m a_i > 農{i = 1}^m b_i = B_m となって、A_m ≤ B_m に反するわ
したがって b_m/a_m ≥ 1となるけれど、条件からすべての k > m に対して b_k/a_k > 1、つまり a_k < b_k となり
A_n = A_m + 農{i = m+1}^n a_i < B_m + 農{i = m+1}^n b_i = B_n となり、条件 A_n = B_n に矛盾するわ
QED

これ、(A_k, B_k) を結んでいくと、原点と (A_n, B_n) = (A_n, A_n) を通る、だんだん傾きを増していく折線グラフになって
下に凸になるから、A_m > B_m は視覚的には明らかなんだけど、ちゃんと証明しようとすると難しかったわ
もっと簡単に書けるのかしら？
0516Usagi2024/04/29(月) 04:02:40.77ID:XSUhhfGP0
ひゃだ、アタシの専ブラだとちゃんと表示されてるんだけど
ブラウザで開くと、上の書き込みの総和記号のシグマが文字化けして農になっているわw
0520陽気な名無しさん2024/04/29(月) 22:58:40.80ID:gGVVqbld0
落ちそう
0521陽気な名無しさん2024/04/30(火) 11:29:28.02ID:PAzaop7E0
一瞬荒れてあっという間に整理されたわね
0523陽気な名無しさん2024/05/09(木) 08:35:32.84ID:aznnZFbN0
2003年京大前期の第四問
f(x)=(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1 は x^2+x+1で割り切れるか。
0524陽気な名無しさん2024/05/14(火) 16:02:59.46ID:SNNJKEQ50
>>522 って、特にどうということもない普通の話よね
0525陽気な名無しさん2024/05/30(木) 13:15:42.32ID:SX5upyuz0
>>523 誰も解けないの？
0526Usagi2024/06/01(土) 01:33:07.95ID:eL/W4aCN0
解けたけどアタシばっか解くのもどうかなって思って様子見てたの
それに>>515みたいにせっかく解いても誰も何のコメントもくれなかったりするし…

x^2+x+1 = 0 の根のひとつをωとすると ω^3 - 1 = (ω-1)(ω^2+ω+1) = 0 となるから ω^3 = 1 よ
そして、ω+1 = -ω^2 だから
(ω^100+1)^100 = ((ω^3)^33⋅ω+1)^100 = (1^33⋅ω+1)^100
= (ω+1)^100 = (-ω^2)^100 = ω^200 = (ω^3)^66⋅ω^2 = ω^2
また、ω^2+1 = -ω だから
(ω^2+1)^100 = (-ω)^100 = ω^100 = (ω^3)^33⋅ω = ω
したがって
f(ω) = (ω^100+1)^100 + (ω^2+1)^100 + 1 = ω^2 + ω + 1 = 0
ωは x^2+x+1 = 0 の任意の根だから、因数定理からf(x)は x^2+x+1 で割り切れるわ

これって1の3乗根をどれだけ見慣れてるかってだけで、後はただのパズルよね
こんな問題で数学的思考力が測れるのか、甚だ疑問に思うわ

ついでに書くと>>509は画像検索したら「やさしい理系数学」って本にある問題だとわかったの
本屋で見たら解答が３つ載っていて、三番目のはアタシが515の終わりに書いたようなものだったわ
アタシはそれしか思いつかなくて、でもそんなんで答えとしてOKなのかしらと思って
がんばって言語化してみたのが最初に書いたものなの
だから無駄があったわね
本の一番目の解答が基本これと一緒だけど、背理法使ってなかったわ

(1) b_m/a_m < 1の場合
すべての i ≤ m について b_i/a_i < b_m/a_m < 1 だから a_i > b_i となるので A_m > B_m が言える
(2) b_m/a_m ≥ 1の場合
すべての i ≥ m+1 について b_i/a_i > b_m/a_m ≥ 1 だから a_i < b_i
したがって 農{i = m+1}^n a_i < 農{i = m+1}^n b_i なので
A_m = A_n - 農{i = m+1}^n a_i > B_n - 農{i = m+1}^n b_i = B_m が言える

ってやれば良かったのね。この問題の方がずっと思考力が要るわ
0527Usagi2024/06/01(土) 02:30:15.91ID:eL/W4aCN0
>>513
(1)の式の一般化が成り立つと仮定すれば、条件を満たすのは 2^a 3^b (a ≥ 1, b ≥ 0) の形のものに限られるから
答えは、8, 16, 32, 64, 6, 12, 24, 48, 96, 18, 36, 72, 54 になるわ
（なんで5以上に限定するのかしら。1, 2, 4をうっかり含めたら減点ってこと？ 意味不明ね）

まず n = 2^a ならf(n)がnの約数となるのはすぐ確認できるわ。
nが2以外の素因数pを持つ場合は、(1)の式の一般化が成り立つとすると p-1はf(n)の因数となるから
f(n)がnの約数なら、p-1がnの因数でもあることになるわ。
p-1は偶数だから、nも偶数となって n = 2^a⋅m（a ≥ 1、mは奇数）と書けるわ。
ここでpが5以上の素数ならf(n)はnの約数とならないことを示すわ。
この場合、p-1 = 2k とすると 2 ≤ k < p となるわ。
もしkが素因数2を持つなら、p-1は4で割れるからf(n)は2^{a+1}を因数に持つことになり、nの約数にならない。
もしkが2以外の素因数qを持つなら、nもqを素因数に持つことになり、q < p だからqとpは異なる素数なので
f(n)は(q-1)(p-1)で割り切れ、q-1もp-1も偶数だから、この場合もf(n)は2^{a+1}を因数に持ち、nの約数にならない。
だからnが2以外の素因数を持つなら3しかないの。

こんなのちゃんと書いてたらいくら時間があっても足りないと思うんだけど、答えだけ求めればいいのかしら？
(1)の一般化だって証明していないし
というか(1)の模範解答が気になるわ
きっと(1)を解けた受験者はほぼ0人よね
0528Usagi2024/06/01(土) 02:34:50.25ID:eL/W4aCN0
あ、526の農はシグマの文字化けよ
ついでに大学入試出典じゃないけど問題出していいかしら
任意の正の整数について、4で割ると1余る約数の個数は、4で割ると3余る約数の個数以上であることを示せ
0529陽気な名無しさん2024/06/02(日) 08:58:04.88ID:2A1uzBXw0
nは奇数で考えればいい。
f(n)=nの約数dのうち4で割ると1余るdの個数マイナス4で割ると3余るdの個数
とする。g(d)=1(d≡1 mod4), -1(d≡3 mod4)とすると、
f(n)=Σ[dはnの約数を動くことを以後d|nと書く]g(d)
となる。gは奇数c,dに対してg(cd)=g(c)g(d)が成り立つ。
このようなもののΣ[d|n]という和もまたそのような性質をもつらしい。
(参考 https://mathnote.info/entry/2020/04/05/Dirichlet-convolution-product)
つまり、互いに素な奇数m,nに対してf(mn)=f(m)f(n)となる。
知らんけど。
奇素数d≡1 mod4に対してf(d^k)=k+1、
奇素数d≡3 mod4に対してf(d^k)=0,1,0,1,…≧0
0530Usagi2024/06/02(日) 13:08:34.45ID:k3zXdr+70
あら、すぐに解かれちゃったわ
姐さんさすがね！
アタシの解き方も基本同じだけど、アタシはディリクレの畳み込みというものは知らなかったからお陰で勉強になったわ
アタシは
a(n) = 4で割ると1余るnの約数の個数
b(n) = 4で割ると3余るnの約数の個数
とおいたの。（姐さんの f は f(n) = a(n) - b(n) となるわ）
奇素nについて、nの異なる素因数の個数に関する帰納法で a(n) - b(n) ≥ 0 を示したわ
n = m⋅p^k（pはmの因数でない素数）とすると
a(n) = a(m⋅p^k) = a(m)a(p^k) + b(m)b(p^k)
b(n) = b(m⋅p^k) = a(m)b(p^k) + b(m)a(p^k)
となるのはすぐわかるから
a(n) - b(n) = a(m⋅p^k) - b(m⋅p^k)
= a(m)a(p^k) + b(m)b(p^k) - (a(m)b(p^k) + b(m)a(p^k))
= (a(m) - b(m))(a(p^k) - b(p^k))
≥ 0⋅0 = 0
となるわ。姐さんの書き方だと f(m⋅p^k) = f(m)f(p^k) ということね

関係無いけど姐さんのシグマは専ブラでもふつうのブラウザでもシグマになってるのね
試しに姐さんのΣをコピペしてみるわ
0531Usagi2024/06/02(日) 13:09:30.47ID:k3zXdr+70
あ、今度はちゃんとΣになったわ！ これからはこれをコピペさせてもらうわ
0532陽気な名無しさん2024/06/02(日) 14:17:04.02ID:2A1uzBXw0
>>509
a/c < b/d のとき (a+b)/(c+d) はそのあいだにある、
というだけじゃないのか…
その問題集の解答ではアタシの硬化した脳細胞には染み込んでこないわ…
0533Usagi2024/06/02(日) 14:45:27.32ID:k3zXdr+70
>>532
たしか二番目の解答がそれを使ってた気がするわ
0534陽気な名無しさん2024/06/02(日) 15:54:29.12ID:2A1uzBXw0
小学校でやることだものね
薄い食塩水と濃い食塩水を混ぜるとどうなりますか？って
0535Usagi2024/06/02(日) 20:06:58.22ID:k3zXdr+70
そう言われたらひどく簡単な問題に思えてきたわw
0536陽気な名無しさん2024/06/05(水) 09:54:10.08ID:tTQNFaI60
a[1]～a[n]は全て正の整数
x[k]は0以上a[k]以下の整数
x[1]+x[2]+…+x[n]が偶数になる確率は1/2以上
とゆうことか
簡単に示せるのかな？
0537Usagi2024/06/08(土) 17:57:25.45ID:yOPEuQNF0
>>536
何これ、独り言？ それとも問題なの？ 問題としても設定がよくわからないわ
0538陽気な名無しさん2024/06/10(月) 20:10:05.87ID:1bPQVA2G0
>>528よね
奇数を素因数分解したときの素因数≡3(mod4)の部分をp[1]^a[1]p[2]^a[2]…p[n]^a[n]とする
約数≡1(mod4)となるのはp[1]^x[1]p[2]^x[2]…p[n]^x[n]のx[1]+x[2]+…+x[n]が偶数になるとき
アタシの解き方>>529より筋が良い気がするわ
0539Usagi2024/06/12(水) 00:42:09.93ID:K0wL7A7u0
>>538
なるほど、そういう意味だったのね。解読ありがとう。
nに関する帰納法で考えれば示せるけれど、そうすると>>530と同じことになっちゃうわよね
それ以上に簡単にできるのかってことだけど、どうなのかしら
ちなみに、a[1], …, a[n]の中にひとつでも奇数があれば、x[1]+x[2]+…+x[n]が偶数になる場合の数と奇数になる場合の数は等しくなるわね
だからこの和が偶数になる場合の数が奇数になる場合の数のより多いのって、a[1], …, a[n]が全て偶数の時だけになるわね
0540陽気な名無しさん2024/06/18(火) 23:28:37.95ID:k06agafe0
任意の正の整数について、7で割ると1か2か4余る約数の個数は、7で割ると3か5か6余る約数の個数以上であることを示せ
0541陽気な名無しさん2024/06/19(水) 07:52:36.92ID:/RjfW53g0
>>540 が解けたわけではないけれど、
>>528 と>>540 とを見ると、
「任意の正の整数について、nで割ると(mod n で平方数）余る約数の個数は、nで割ると(mod n で平方数でない数）余る約数の個数以上である」
が一般に言えるのかしら。
平方剰余の相互法則とかと何か関係あるのかしらね。
0542陽気な名無しさん2024/06/19(水) 07:56:44.23ID:/RjfW53g0
mod n でってより、(ℤ/nℤ)*の平方数、非平方数って言うべきだったかしらね。
nと互いに素なもの限定にしたいんだからこっちの方が良さそうな気がするわね。
0543陽気な名無しさん2024/06/19(水) 08:36:16.97ID:k2IaGVwa0
大学受験でおなじみ、赤本（1954年創刊）の
「表紙が」リニューアル

きっかけは出版社の若手社員のひとこと
「表紙文字の大きさなどにプレッシャーを感じる」「威圧感がある」
現役高校生らにもヒアリングの上、変更に。

旧赤本を使って大学に合格した、関西大学の大学生らは
「新しい方が親しみ感じるかな」
「古い方がいい。このプレッシャー感が受験のやる気になる」
https://news.yahoo.co.jp/articles/af5cd5ec7ee96a4e7bb8e4c834f405a897cd2243

こんな事にまで過敏にならないとダメなのね。アホみたい。
これで来年以降の受験生のレベルが下がったら面白いわね
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